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相关试卷

1、已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 为平面中的单位向量，满足 $\vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}} = \frac{1}{4}$ ，若 $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = λ \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $λ =$ ．

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2、图为温岭的标志性景观-石夫人，“峰以形名，头挽发髻，延颈削肩，神奇秀丽”．某兴趣小组测绘山峰数据：于山脚 $A$ 处测得峰顶 $C$ 的仰角为 $30^{\circ}$ ，从 $A$ 出发选择地平面方向 $A D$ 使得 $∠ C A D = 60^{\circ}$ ，前进至点 $D$ 恰使 $∠ A D C = 90^{\circ}$ ，测得前进距离 $|A D| = 150 m$ ．若峰顶 $C$ 在 $A D$ 所在地平面垂直投影点为 $H$ ，山坳处有一个憩息点 $B$ ，观测峰顶 $C$ 的仰角为 $60^{\circ}$ ， $B$ 在地平面投影点 $T$ 落在 $A H$ 上， $A H = 5 T H$ ，下列说法正确的是（）

A、 $|C H| = 150 m$ B、 $|B T| = 60 m$ C、从 $D$ 点观测峰顶 $C$ 的仰角为 $θ$ ，则 $tan θ = \frac{\sqrt{6}}{3}$ D、从 $D$ 点观测点 $B$ 的仰角为 $φ$ ，则 $tan φ = \frac{2 \sqrt{33}}{33}$

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3、已知四棱锥 $P - A B C D$ 如图， $A B / / C D$ 且 $A B = 2 C D$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $A P$ ， $A B$ 的中点，则下列说法正确的有（）

A、 $P C / /$ 平面 $D M N$ B、四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $V_{1}$ ，三棱锥 $D - A M N$ 的体积为 $V_{2}$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{9}{2}$ C、平面 $P C D$ 与平面 $P A B$ 的交线记为 $l_{1}$ ，则直线 $l_{1} / /$ 平面 $A B C D$ D、平面 $P D A$ 与平面 $P B C$ 的交线记为 $l_{2}$ ，则直线 $l_{2} / /$ 平面 $D M N$

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4、设平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 均为非零向量，且 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ C、若 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ，则 $\vec{c} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ D、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a}$ ，则 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}|$

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5、已知圆锥的轴截面顶角为 $θ$ ，侧面展开扇形的圆心角为 $2 π - θ$ ，则 $θ$ 为（）

A、锐角 B、直角 C、钝角 D、不存在

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6、在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = A B = 2$ ，球 $O$ 与四棱锥 $P - A B C D$ 的所有侧棱相切，并与底面 $A B C D$ 也相切，则球 $O$ 的半径为（）

A、 $\frac{2}{9}$ B、1 C、 $2 - \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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7、已知复数 $z = 1 + \sqrt{3} i$ ， $i$ 为虚数单位，则对于 $t \in R$ ， $|z + t \cdot \bar{z}|$ 的最小值为（）

A、2 B、1 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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8、在 $△ A B C$ 中， $D$ 为边 $B C$ 的中点，对于 $B C$ 所在直线上的任意点 $P$ ，均有 ${|P A|}^{2} + {|P C|}^{2} \geq {|D A|}^{2} + {|D C|}^{2}$ ，则 $△ A B C$ 的形状一定是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、钝角三角形

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9、如图的平面直角坐标系 $x O y$ 中，线段 $A B$ 长度为2，且 $∠ A B O = 60 °$ ，按“斜二测”画法水平放置的平面上画出为 $A^{'} B^{'}$ ，则 ${|A^{'} B^{'}|}^{2} =$ （）

A、4 B、 $\frac{7 - 2 \sqrt{6}}{4}$ C、 $\frac{7 + 2 \sqrt{6}}{4}$ D、 $4 + \sqrt{6}$

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10、若 $a$ ， $b$ 表示两条直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 表示三个不重合的平面，下列命题正确的是（）

A、若 $a \subset α$ ， $b \subset β$ ， $a / / b$ ，则 $α / / β$ B、若 $a \subset α$ ， $b \subset β$ ， $α / / β$ ，则 $a / / b$ C、若 $α \cap γ = a$ ， $β \cap γ = b$ ， $a / / b$ ，则 $α / / β$ D、若 $α \cap γ = a$ ， $β \cap γ = b$ ， $α / / β$ ，则 $a / / b$

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11、已知 $\vec{a} = (2, - \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (1, \sqrt{3})$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $- \frac{1}{4} \vec{b}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a}$ D、 $- \frac{1}{7} \vec{a}$

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12、若复数 $z = (1 + i) i$ ， $i$ 为虚数单位，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- i$ D、 $i$

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13、若 $n$ 是数据 $3, 1, 2, 2, 3, 9, 10, 3$ 的第75百分位数，则二项式 ${(2 \sqrt{x} + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式的常数项是（）

A、240 B、90 C、12 D、5376

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14、已知向量 $\vec{a} = (1, 0) ， \vec{b} = (x, 1) ，$ 若 $\vec{b} \cdot (\vec{b} - 2 \vec{a}) = 0 ，$ 则 $x =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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15、已知 $\vec{a} = (3, m)$ ， $\vec{b} = (1, - 1)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、4 B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、1

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16、已知函数 $f (x) = e^{x} - a (x - 2) + b + 1$ ，其中 $a, b \in R$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、已知 $a \neq 0$ ，若 $f (x) \geq 0$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立，求 $\frac{b + 2}{a}$ 的最小值．

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17、定义函数 $f (x) = a \sin x + b \cos x$ 的“积向量”为 $\vec{m} = (a, b)$ ，向量 $\vec{m} = (a, b)$ 的“积函数”为 $f (x) = a \sin x + b \cos x$ .

(1)、若 $a = 1$ ， $b = - \sqrt{3}$ ，求 $f (x)$ 最大值及对应 $x ¨$ 的取值集合；

(2)、若向量 $\vec{m} = (a, b)$ 的“积函数” $f (x)$ 满足 $\frac{f (\frac{π}{7})}{f (\frac{9 π}{14})} = \tan \frac{13 π}{42}$ ，求 $\frac{b}{a}$ 的值；

(3)、已知 $\vec{m} = (2 \cos α, 2 \sin α)$ ， $\vec{n} = (2 \cos β, - 2 \sin β)$ ，设 $\vec{O P} = λ \vec{m} + μ \vec{n} (λ > 0, μ > 0)$ ，且 $\vec{O P}$ 的“积函数”为 $g (x)$ ，其最大值为 $t$ ，求 $(t - 2) (λ + μ)$ 的最小值，并判断此时 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 的关系.

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18、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $\frac{c}{a} = \frac{\sin A + 2 \sin B \cos A}{2 \sin A}$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ， $D$ 为 $A C$ 边上的一点， $B D = 3$ ，且______，求 $△ A B C$ 的面积.
（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.
① $B D$ 是 $∠ B$ 的平分线；
② $D$ 为线段 $A C$ 的中点.

(3)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $b = \sqrt{3}$ 求 $A C$ 边上的高取值范围.

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19、某养殖公司有一处正方形养殖池 $A B C D$ ，边长为100米.

(1)、如图1，P，Q分别在 $B C$ ， $C D$ 上，且 $B P + Q D = P Q$ ，求证： $∠ P A Q = \frac{π}{4}$ .

(2)、如图2，为了便于冬天给养殖池内的水加温，考虑到整体规划，要求 $O$ 是边 $A B$ 的中点，点 $F$ 在边 $B C$ 上，点 $E$ 在边 $A D$ 上，且 $∠ E O F = \frac{π}{2}$ ，该公司计划在养殖池内铺设两条加温带 $O E$ 和 $O F$ ，并安装智能照明装置，经核算，在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元.
问：①设 $∠ B O F = α$ ，求 $α$ 的取值范围；
②如何设计才能使安装智能照明装置的费用最低?说明理由，并求出最低费用.（参考数值： $\tan \frac{7 π}{20} = 2$ ， $\sin \frac{2 π}{5} = \frac{10 + 2 \sqrt{5}}{4} \approx 0.95$ ）

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20、已知函数 $f (x) = \sin (\frac{π}{4} + x) \sin (\frac{π}{4} - x) + \sqrt{3} \sin x \cos x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调增区间；

(2)、若 $f (\frac{π}{12} + \frac{α}{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，且 $\frac{5 π}{6} < α < π$ ，求 $\sin α$ 的值.

(3)、在 $△ A B C$ 中，若 $f (\frac{A}{2}) = 1$ ，求 $\sin B + \sin C$ 的取值范围.

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