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相关试卷

1、已知点 $A (\sqrt{2} ， 1)$ 是离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的一点．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、点 $P$ 在椭圆上，点 $A$ 关于坐标原点的对称点为 $B$ ，直线 $A P$ 和 $B P$ 的斜率都存在且不为 $0$ ，试问直线 $A P$ 和 $B P$ 的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由；

(3)、斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，求 $△ A M N$ 面积的最大值，并求此时直线 $l$ 的方程．

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是直角梯形，其中 $A D / / B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} B C = 1$ ， $P A = 2$ ， $E$ 为棱 $B C$ 上的点，且 $B E = \frac{1}{4} B C$ ，点 $Q$ 在棱 $C P$ 上（不与点 $C$ ， $P$ 重合）.

(1)、求证：平面 $D E Q ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求二面角 $A - P C - D$ 的平面角的余弦值；

(3)、直线 $Q E$ 能与平面 $P C D$ 垂直吗？若能，求出 $\frac{C Q}{C P}$ 的值；若不能，请说明理由.

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3、设平面内两个非零向量 $\vec{m}, \vec{n}$ 的夹角为 $θ$ ，定义一种运算“ $\otimes$ ”： $\vec{m} \otimes \vec{n} = | \vec{m} | | \vec{n} | \sin θ$ ．试求解下列问题：

(1)、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (2, 1), | \vec{b} | = 2, \vec{a} \cdot \vec{b} = 4$ ，求 $\vec{a} \otimes \vec{b}$ 的值；

(2)、①若 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1}), \vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，用坐标 $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}$ 表示 $\vec{a} \otimes \vec{b}$ ；
②在平面直角坐标系中，已知点 $A (2, 1), B (- 1, 2), C (0, 4)$ ，求 $\vec{A B} \otimes \vec{B C}$ 的值；

(3)、已知向量 $\vec{a} = (\frac{1}{\cos α}, \frac{2}{\sin α}), \vec{b} = (\frac{2}{\sin α}, - \frac{1}{\cos α}), α \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $\vec{a} \otimes \vec{b}$ 的最小值．

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4、如图，某公园有一块扇形人工湖OMN，其中圆心角 $∠ M O N = \frac{π}{4}$ ，半径为1千米，为了增加观赏性，公园在人工湖中划分出一片荷花池，荷花池的形状为矩形 $A B C D$ (四个顶点都落在扇形边界上)；再建造一个观景台，形状为 $△ D A M$ ，记 $∠ M O D = α .$

(1)、当角 $α$ 取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积.

(2)、若在OA的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元 $($ 不计桥的宽度 $)$ ；且建造观景台的费用为每平方千米16万元，求建造总费用的范围.

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5、已知在 $△ A B C$ 中， $C = 2 A$ ， $cos A = \frac{3}{4}$ ， $A B = \frac{3}{2} B C$ 且 $2 \vec{B A} \cdot \vec{C B} = - 27$ ．

(1)、求 $cos B$ 的值；

(2)、求 $A C$ 的长度．

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6、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (m, - 1)$ ， $\overset{⃑}{b} = (1, 2)$ .

(1)、若 $(\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}) ⊥ 2 \overset{⃑}{b}$ ，求 $|\overset{⃑}{a} + 2 \overset{⃑}{b}|$ ；

(2)、若向量 $\overset{⃑}{c} = (- 2, 1)$ ， $\overset{⃑}{a} ∥ \overset{⃑}{c}$ ，求 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{a} - 2 \overset{⃑}{b}$ 夹角的余弦值.

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7、若平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{c} = - 1$ ，则 $|\vec{b} + \vec{c}|$ 的最小值为．

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8、关于平面向量有下列四个命题：
①若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{b} = \vec{c}$ ；
②已知 $\vec{a} = (k, 3)$ ， $\vec{b} = (- 2, 6)$ .若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $k = - 1$ .
③非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ ，满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为30°.
④ $(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} + \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}) \cdot (\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} - \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}) = 0$ .
其中正确的命题为.

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9、已知 $α$ 是第一象限角，且 $cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{5}{13}$ ，则 $tan (α - \frac{π}{3}) =$ .

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10、摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为60米，转盘直径为50米，设置有24个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的点为0号座舱，距地面最远的座舱为12号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐2号舱位，乙坐6号舱位，开启后按逆时针方向匀速旋转，开启后的第8分钟这一时刻，游客甲和乙首次距离地面高度相同，游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为 $H$ 米，下列说法正确的是（）

A、 $H$ 关于 $t$ 的函数解析式为 $H = 25 \sin (\frac{π}{12} t - \frac{π}{6}) + 35$ B、开启后第20分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同 C、开启后第10分钟游客乙距离地面47.5米 D、开启后第10分钟至第18分钟游客甲和乙运动方向相同（上升或下降）

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11、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ， $\vec{c} = (2 m, n - 1)$ ，则（）

A、 $|\vec{a} - \vec{b}| = 5$ B、当 $\vec{b} // \vec{c}$ 时， $4 m + n = 1$ C、当 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ 时， $m + 2 n = 2$ D、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标为 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

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12、我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若 $\vec{B C} = \vec{a}, \vec{B A} = \vec{b}, \vec{B E} = 3 \vec{E F}$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{12}{25} \vec{a} - \frac{16}{25} \vec{b}$ B、 $\frac{16}{25} \vec{a} + \frac{12}{25} \vec{b}$ C、 $\frac{12}{25} \vec{a} + \frac{9}{25} \vec{b}$ D、 $\frac{9}{25} \vec{a} - \frac{12}{25} \vec{b}$

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13、互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，过点 $P$ 作两坐标轴的平行线，其在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的截距 $a, b$ 分别作为点 $P$ 的 $x$ 坐标和 $y$ 坐标，记 $P (a, b)$ .若斜坐标系中， $x$ 轴正方向和 $y$ 轴正方向的夹角为 $θ$ ，则该坐标系中 $M (x_{1}, y_{1})$ 和 $N (x_{2}, y_{2})$ 两点间的距离为（）

A、 $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2} + 2 (x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) cos θ}$ B、 $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2} - 2 (x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) cos θ}$ C、 $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2} + 2 |(x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2})| cos θ}$ D、 $\sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2} - 2 |(x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2})| cos θ}$

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14、已知向量 $\vec{a} = (1, 3), \vec{b} = (- 2, 4)$ ，且 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $μ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} - μ \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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15、已知等边三角形 $A B C$ 的边长是 $2$ ， $D$ 、 $E$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ 的中点，则 $\vec{B E} \cdot \vec{C D} =$ （）

A、 $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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16、已知 $\vec{A B} = (- 1, \cos α)$ ， $\vec{B C} = (2, 0)$ ， $\vec{C D} = (2, 2 \sin α)$ ，若 $A$ ， $B$ ， $D$ 三点共线，则 $\tan α =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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17、在 $△ A B C$ 中， $B C = 2$ ， $A B = 4, cos C = - \frac{1}{4}$ ，则 $A C$ 的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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18、已知在平面四边形 $B C D E$ 中， $E B = B C = C D = 2$ ， $∠ E B C = 150 °$ ， $∠ B C D = 60 °$ ．将 $△ E B D$ 沿BD翻折至 $△ A B D$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ，点 $F$ 在线段BD上，且 $B F = λ B D$ ， $0 < λ < 1$ ．

(1)、求证： $A B ⊥$ 面 $B C D$ ；

(2)、求三棱锥 $A - B C D$ 外接球的半径；

(3)、求直线CF与平面 $A C D$ 所成角的正弦值的取值范围．

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19、每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{2}{3}$ ；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．

(1)、若 $q = \frac{5}{6}$ ，求乙恰好有一轮胜出的概率；

(2)、若甲，乙各有一轮胜出的概率为 $\frac{9}{50}$ ，甲，乙两轮都胜出的概率为 $\frac{6}{25}$ ．
①求p，q的值；
②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率．

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20、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $\cos^{2} C + \sin^{2} B = 2 - \cos^{2} A - \sin A \sin C$ ．

(1)、求角B；

(2)、若 $∠ A B C$ 的角平分线交AC于点D， $a = 3$ ， $c = 4$ ，求BD；

(3)、若 $△ A B C$ 的外接圆的半径为 $\sqrt{3}$ ，求 $2 c - a$ 的取值范围．

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