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相关试卷

1、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ . $P$ 为 $C$ 上一点， $⊙ P$ 的半径为 $|P F|$ ，过 $P$ 作 $y$ 轴的垂线，交 $⊙ P$ 于 $M, N$ 两点， $M$ 在 $N$ 的左侧.记 $C$ 的离心率为 $e$ ，点 $M$ 轨迹的离心率为 $e_{1}$ ，点 $N$ 轨迹的离心率为 $e_{2}$ ，则（）

A、 $e_{1} < e_{2}$ B、 $e_{2} < e_{1}$ C、 $e_{1} < e$ D、 $e < e_{2}$

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2、若 $tan (\frac{α}{2} + \frac{π}{4}) + tan (\frac{α}{2} - \frac{π}{4}) = cos α$ ，则 $sin α =$ （）

A、 $\sqrt{5} - 2$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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3、已知圆柱 $M M_{1}$ 与圆锥 $N N_{1}$ 的体积与侧面积均相等，若 $N N_{1}$ 的轴截面为等腰直角三角形，则 $M M_{1}$ 与 $N N_{1}$ 的底面半径之比为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$

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4、若函数 $f (x) = e^{x + 1} + e^{a - x} + {(x + b)}^{2}$ 关于直线 $x = 2$ 对称，则 $a + b =$ （）

A、1 B、3 C、5 D、7

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5、已知 $x, y > 0$ ，设命题 $p : x + y ⩽ 2$ ，命题 $q : x y ⩽ 1$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、设集合 $A = \{x |\frac{1 - x}{3 - x} ⩾ 0\}, B = \{- 1, 1, 2, 3, 4, 5\}$ ，则 $A \cap B$ 中所有元素之和为（）

A、3 B、8 C、9 D、12

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7、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 3 | \vec{b} | = 3, \vec{b} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、3

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8、在复平面内， $\frac{1 + i}{1 + 2 i}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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9、图1是由矩形ADEB、 $R t △ A B C$ 和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中 $A B = 1$ ， $B E = B F = 2$ ， $∠ F B C = 60 °$ ，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.

(1)、证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面 $A B C ⊥$ 平面BCGE；

(2)、求图2中的平面BCG与平面ACG所成角的大小.

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10、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{n + 2} = 2 a_{n + 1} - a_{n} + 2$ ．
（1）设 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ ，证明 $\{b_{n}\}$ 是等差数列；
（2）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式．

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11、已知向量 $\vec{a} = (2, 0, 2)$ ， $\vec{b} = (0, 2, - 1)$ ， $\vec{c} = (3, 4, m)$ ，若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面，则实数 $m$ 的值为．

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = - n^{2} + 31 n$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a_{n} = - 2 n + 32$ B、 $S_{17}$ 为 $S_{n}$ 中的最大项 C、 $\frac{a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{13}}{a_{2} + a_{4} + a_{6} + \dots + a_{12}} = \frac{7}{6}$ D、 $|a_{1}| + |a_{2}| + |a_{3}| + \dots + |a_{30}| = 430$

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13、 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，过左焦点 $F_{1}$ 的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若 $|A B| : |B F_{2}| : |A F_{2}| = 3 : 4 : 5$ ，则双曲线的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm 2 \sqrt{3} x$ C、 $y = \pm 3 \sqrt{3} x$ D、 $y = \pm 4 \sqrt{3} x$

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14、已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的一条弦 $A B$ 恰好以 $P (1, 1)$ 为中点，则弦 $A B$ 所在直线的方程是（）

A、 $y = x - 1$ B、 $y = 2 x - 1$ C、 $y = - x + 2$ D、 $y = - 2 x + 3$

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15、已知双曲线 $Γ : x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ ，左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，过点 $M (- 2, 0)$ 的直线交双曲线 $Γ$ 于 $P, Q$ 两点.

(1)、若 $Γ$ 的离心率为2，求 $b$ .

(2)、若 $b = \frac{2 \sqrt{6}}{3}, △ M A_{2} P$ 为等腰三角形，且点 $P$ 在第一象限，求点 $P$ 的坐标.

(3)、连接 $Q O$ （ $O$ 为坐标原点）并延长交 $Γ$ 于点 $R$ ，若 $\vec{A_{1} R} \cdot \vec{A_{2} P} = 1$ ，求 $b$ 的最大值.

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16、已知k、 $m \in R$ ，函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，直线l的方程为 $y = k x + m$ ，记集合 $A_{l} = {x ∣ f (x) \geq k x + m}$ ．

(1)、若 $f (x) = 2^{x}, k^{2} + {(m - 1)}^{2} = 0$ ，求集合 $A_{l}$ ；

(2)、若 $f (x) = - x^{4} + x^{3} + b x^{2}$ ，且存在实数k、m使得集合 $A_{l}$ 中有且只有两个元素，求实数b的取值范围；

(3)、若函数 $y = f (x)$ 的图象是一条连续曲线，且其导函数是定义域为 $R$ 的严格减函数，求证：“集合 $A_{l}$ 是单元素集合 ${t}$ ”是“直线l是曲线 $y = f (x)$ 在点 $P (t, f (t))$ 处的切线”的充要条件．

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17、如图，在三棱锥P⁃ABC中，平面PAB⊥平面PAC，BC=2AB=2，∠ABC= $\frac{π}{3}$ .

(1)、证明：PB⊥AC；

(2)、若侧面PAB是等边三角形，点D满足 $\vec{P D}$ =λ $\vec{P A}$ （0<λ<1），过B，D两点作平面α，满足直线AC∥α，设平面α与PC交于点E，直线PC与平面α所成的角为 $\frac{π}{6}$ ，求λ的值.

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18、某绿色水果生态园在某种水果收获的.随机摘下该水果100个作为样本，其质量分别在 $[100, 150)$ ， $[150, 200)$ ， $[200, 250)$ ， $[250, 300)$ ， $[300, 350)$ ， $[350, 400]$ （单位：克）中，经统计，样本的频率分布直方图如图所示：

(1)、求图中a的值；

(2)、现按分层抽样的方法从质量为 $[250, 300)$ ， $[300, 350)$ 的水果中随机抽取6个，再从6个中随机抽取3个，求这3个水果中恰有1个质量在 $[300, 350)$ 内的概率；

(3)、某经销商来收购水果时，该生态园有水果约10000个要出售.
经销商提出如下两种收购方案：
方案A：所有水果以10元/千克收购；
方案B：对质量低于250克的水果以2元/个收购，不低于250克的以3元/个收购.假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，请估算该生态园选择哪种方案获利更多？

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19、折纸是一项玩法多样的活动.通过折叠纸张，可以创造出各种各样的形状和模型，如动物、花卉、船只等.折纸不仅是一种艺术形式，还蕴含了丰富的数学知识.在纸片 $△ A B C$ 中， $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S_{1}$ ， $a = \sqrt{5}$ .

(1)、证明： $S_{1} = \frac{5 \sin B \sin C}{2 \sin A}$ ；

(2)、若 $8 \sqrt{3} S_{1} \cdot \sin A = 10 \sqrt{3} \cos (B - C) + 5$ ，求 $\sin A$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，若 $b = \sqrt{3}$ ， $D$ 是 $A B$ 的中点，现需要对纸片 $△ A B C$ 做一次折叠，使 $C$ 点与 $D$ 点重合，求折叠后纸片重叠部分的面积 $S_{2}$ .

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20、若正整数m，n的公约数只有1，则称m，n互质.对于正整数 $n, φ (n)$ 是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数.函数 $φ (n)$ 以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如 $φ (3) = 2$ ，则 $φ (9) = 6$ .若数列 $\{\frac{φ (2^{n})}{φ (3^{n})}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{n} =$ .

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