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相关试卷

1、若 $tan θ =−2$ ，则 $\frac{1−sin2 θ}{\sqrt{2} sin θ ⋅sin (θ − \frac{π}{4})} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $− \frac{1}{2}$ C、 $− \frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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2、已知向量 $\vec{a} = (1, t)$ ， $\vec{b} = (3, 9)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $t =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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3、在空间直角坐标系中，点 $P (- 1, 2, - 3)$ 关于 $x O y$ 平面的对称点 $P^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(1, 2, - 3)$ B、 $(- 1, - 2, - 3)$ C、 $(- 1, 2, 3)$ D、 $(1, - 2, - 3)$

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4、有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（）种停放方法．

A、72 B、144 C、108 D、96

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5、设 $i$ 是虚数单位，则复数 $\frac{i - 1}{2+i}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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6、已知定义在 $R$ 上的可导函数f（x）的导函数为f（x），满足 $f^{'} (x) < f (x)$ 且 $f (x + 3)$ 为偶函数. $f (x + 1) - \frac{1}{2}$ 为奇函数，若 $f (9) + f (8) = \frac{3}{2}$ ，则不等式 $f (x) > e^{x}$ 的解集为（　　）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(6, + \infty)$

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7、已知 ${(x + b)}^{5} = a_{5} x^{5} + a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ ，若 $a_{3} = 40$ ，则 $b =$ .

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8、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，双曲线上一点A关于原点O对称的点为B，且满足 $\vec{A F_{1}} \cdot \vec{B F_{1}} = 0$ ， $\tan ∠ A B F_{1} = \frac{1}{3}$ ，则该双曲线的渐近线方程为．

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9、函数 $y = x + \sqrt{1 - 2 x}$ 的最大值为.

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10、若圆 $C : x^{2} + y^{2} + m x + 4 y - 1 = 0$ 关于直线 $y = 3 x + 1$ 对称，则 $m =$ ．

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11、已知 $\frac{cos α}{cos α - sin α} = 2$ ，则 $tan (α + \frac{π}{4}) - sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{9}{5}$ C、 $\frac{11}{5}$ D、2

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12、椭圆 $\frac{x^{2}}{5} +$ $\frac{y^{2}}{m} = 1 (m > 0)$ 的长轴长为6，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{31}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{11}}{6}$

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13、已知 $x > 0, y > 0$ ，且 $\frac{1}{x} + 2 y = 1$ ，则 $2 x + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{2} - 1$ C、6 D、8

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14、5个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为（）

A、18 B、36 C、48 D、60

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15、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为1，若 $a_{1}, a_{2}, a_{3} + 1$ 成等比数列，则 $a_{4} =$ （）

A、-2 B、4 C、8 D、-2或4

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16、已知 $a \in R$ ， $i$ 为虚数单位，若复数 $(2 + i) (a + i)$ 的实部与虚部相等，则 $a =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、 $2$ D、 $3$

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17、已知平面向量 $\vec{a} = (sin θ, 1), \vec{b} = (cos θ, - 2)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $tan θ =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (1, 0)$ ， $B (1, \frac{3}{2})$ 为椭圆上一点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $l ($ 不经过 $B$ 点 $)$ 交 $C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，且直线 $B P$ 和直线 $B Q$ 的斜率之和为 $0.$
①证明：直线 $l$ 的斜率为定值，并求出这个定值；
②若 $tan ∠ P B Q = \frac{12}{5} ，$ 求 $△ P B Q$ 的面积.

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19、曲线 $E_{1}$ 的方程 $F (x, y) = 0$ 中，用 $λ x$ 替换 $x$ ， $u y$ 替换 $y (λ, μ \in R^{+})$ 得到曲线 $E_{2}$ 的方程 $F (λ x, μ y) = 0$ ，把这种 $(x, y) \to (λ x, μ y)$ 的变换称为“伸缩变换”， $λ$ ， $μ$ 分别称为 $x$ 轴和 $y$ 轴的伸缩比.

(1)、若曲线 $E_{1}$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} = 4$ ，伸缩比 $λ = \frac{1}{2}, μ = 1$ ，求 $E_{1}$ 经过“伸缩变换”后所得到曲线 $E_{2}$ 的标准方程；

(2)、若曲线 $E_{1}$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，经过“伸缩变换”后所得到曲线 $E_{2}$ 是离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的椭圆，求 $\frac{λ}{μ}$ 的值；

(3)、对抛物线 $E_{1} : y^{2} = 2 p_{1} x$ 作变换 $(x, y) \to (λ_{1} x, μ_{1} y)$ ，得抛物线 $E_{2} : y^{2} = 2 p_{2} x$ ；对抛物线 $E_{2} : y^{2} = 2 p_{2} x$ 作变换 $(x, y) \to (λ_{2} x, μ_{2} y)$ ，得抛物线 $E_{3} : y^{2} = 2 p_{3} x$ ，如此进行下去，对抛物线 $E_{n} : y^{2} = 2 p_{n} x$ 作变换 $(x, y) \to (λ_{n} x, μ_{n} y)$ ，得抛物线 $E_{n + 1} : y^{2} = 2 p_{n + 1} x$ ，若 $p_{1} = 1, λ_{n} = n^{2}, μ_{n} = n + 1$ ，记数列 $\{p_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} < \frac{3}{5}$ .

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20、如图，在底面为正方形的四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = A D$ ， $P A ⊥$ 面 $A B C D$ ， $M$ ， $Q$ 分别为 $P D$ 和 $B C$ 的中点， $P N = \frac{2}{3} P C .$

(1)、求证： $A$ ， $M$ ， $N$ ， $Q$ 四点共面；

(2)、求二面角 $M - A N - D$ 的余弦值.

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