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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $A B C D$ ⊥平面 $P C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形， $E, F$ 分别为 $A D, P C$ 的中点，设平面 $P C D \cap$ 平面 $P B E = l$ ．

(1)、求证： $B C ⊥ D F$ ；

(2)、求证： $D F / / l$ ；

(3)、若 $P D ⊥ C D$ ，二面角 $P - B C - D$ 的大小为 $30 °$ ，求 $P B$ 与底面 $A B C D$ 所成角的正弦值．

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2、下列等式正确的是（）

A、 $\sin 15^{o} \cos 15^{o} = \frac{1}{4}$ B、 $2 {sin}^{2} {22.5}^{o} - 1 = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $cos 26^{o} cos 34^{o} + sin 26^{o} sin 34^{o} = \frac{1}{2}$ D、 $\frac{\tan 71 ° - \tan 26 °}{1 + \tan 71 ° \tan 26 °} = 1$

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3、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x + \frac{1}{2} \cos 2 x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{3}]$ 上的最值.

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4、在 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，已知 $a = \sqrt{3}, b = 1, c = \sqrt{7}$ ．

(1)、求角C的大小；

(2)、求 $\sin (A + C)$ 的值．

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5、如图， $△ A O D$ 与 $△ B O C$ 存在对顶角 $∠ A O D = ∠ B O C = \frac{π}{4}$ ， $A C = 2$ ， $B D = 2 \sqrt{2}$ 且 $B C = A D$ ，（1）则 $O D$ 的长 $O D =$ ；（2）若 $\sqrt{5} \sin 2 A + \cos B = \sqrt{5}$ ，则 $O C$ 的长 $O C =$ .

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6、在 $▱ A B C D$ 中，若 $\vec{A D} = (2, 8)$ ， $\vec{A B} = (- 3, 4)$ ，则向量 $\vec{A C}$ 的坐标为 $\vec{A C} =$ .

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7、函数 $f (x) = 5 tan (2 x - \frac{π}{4})$ 的最小正周期是.

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8、《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边 $a$ ， $b$ ， $c$ ，求面积的公式，这与古希腊的海伦面积公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} c^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ .现有 $△ A B C$ 满足 $\sin A : \sin B : \sin C = 2 : 3 : \sqrt{7}$ ，且 $△ A B C$ 的面积 $S = 6 \sqrt{3}$ ，请运用上述公式判断下列结论正确的是（）

A、 $△ A B C$ 的周长为 $10 + 2 \sqrt{7}$ B、 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 满足 $2 C = A + B$ C、 $△ A B C$ 外接圆的半径为 $\frac{4 \sqrt{21}}{3}$ D、 $△ A B C$ 的中线 $C D$ 的长为 $\sqrt{19}$

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9、下列说法正确的是（）

A、 $\cos^{2} 15 ° - \sin^{2} 15 ° = \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1 + \tan 15 °}{1 - \tan 15 °} = \sqrt{3}$ C、向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (3, 4)$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (3, 4)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $\frac{1}{5} \vec{b}$

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10、当 $x \in [0, 2 π]$ 时，曲线 $y = \sin x$ 与 $y = 2 \sin (3 x - \frac{π}{6})$ 的交点个数为（）

A、1 B、2 C、4 D、6

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11、已知 $\vec{a} = (1, 0)$ ， $\vec{b} = (1, 3)$ ， $\vec{c} = 2027 \vec{a} + \vec{b}$ ，则 $\vec{b} \cdot \vec{c} =$ （）

A、2027 B、2028 C、2037 D、2038

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12、函数 $y = 1 - \sin x$ 的最大值为（）

A、1 B、0 C、2 D、 $- 1$

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13、类比于二维向量， $n (n \geq 3, n \in N^{*})$ 维空间向量 $\vec{a}$ 用n元有序数组 $({\vec{a}}_{1}, {\vec{a}}_{2}, \dots, {\vec{a}}_{n})$ 表示，记为 $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ， $\vec{b} = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})$ ，且n维空间向量满足 $\vec{a} \pm \vec{b} = (a_{1} \pm b_{1}, a_{2} \pm b_{2}, \dots, a_{n} \pm b_{n})$ ， $|\vec{a}| = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{0}^{2} + \dots + a_{n}^{2}}$ ， $|\vec{b}| = \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2} + \dots + b_{n}^{2}}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} + \dots + a_{n} b_{n}$ ．

(1)、设 $\vec{α} = (- 1, 1, 1, 1, \dots, 1)$ 和 $\vec{β} = (1, - 1, 1, 1, \dots, 1)$ 是两个n维空间向量．
①求 $|\vec{α} + \vec{β}|$ ；
②设 $\vec{α}$ 与 $\vec{α} + \vec{β}$ 的夹角为θ，求 $\cos θ$ ；

(2)、对于一个n元向量 $\vec{α} = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ，若 $|a_{i}| = 1 (i = 1, 2, \dots, n)$ ，称 $\vec{α}$ 为n维信号向量．规定 $\vec{α} \cdot \vec{β} = 0 \Leftrightarrow \vec{α} ⊥ \vec{β}$ ．已知k个两两垂直的120维信号向量 ${\vec{α}}_{1}$ ， ${\vec{α}}_{2}$ ， …， ${\vec{α}}_{k}$ 满足它们的前m个分量都相同，证明： $\sqrt{k m} < 11$ ．

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14、如图1，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C = \sqrt{2}$ ， $A C = A D = 2$ ， $∠ B A D = \frac{3 π}{4}$ ，如图2，把 $△ A C D$ 沿 $A C$ 折起，使点 $D$ 到达点 $P$ 处，且平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $Q$ 为 $P C$ 的中点.

(1)、求证： $A C ⊥ B Q$ ；

(2)、求二面角 $A - B Q - P$ 的余弦值；

(3)、判断线段 $A P$ 上是否存在点 $M$ ，使得三棱锥 $M - A B Q$ 的体积为 $\frac{1}{6}$ ．若存在，求出 $\frac{A M}{A P}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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15、已知点 $E$ 是棱长都为2的正四棱锥 $P - A B C D$ 的棱 $P C$ 的中点，空间中一点 $M$ 满足 $\vec{B M} = x \vec{P A} + (y - 1) \vec{P B} + z \vec{P C}$ ，其中 $x$ ， $y$ ， $z \in R$ ，且 $x + y + z = 1$ ．当 $| \vec{P M} |$ 最小时，有（）

A、 $△ P M C$ 为钝角三角形 B、 $E M = \sqrt{2}$ C、 $E M$ 与底面 $A B C D$ 所成的角是 $\frac{π}{3}$ D、四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球被二面角 $E - M B - C$ 所夹的几何体的体积为 $\frac{\sqrt{2}}{3} π$

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16、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，且C经过点 $(\frac{3}{2}, \sqrt{3})$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设斜率为 $\frac{b}{a}$ 的直线l与椭圆C交于不同的两点 $M, N$ ，与x轴交于点 $P$ ，证明： ${|M P|}^{2} + {|P N|}^{2}$ 为定值．

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17、某学校为了了解学生平时的运动时长情况，现从全校 $500$ 名学生中随机抽取 $20$ 名学生，统计出他们的运动时长（单位：分钟），将这些运动时长按 $(20, 25]$ 、 $(25, 30]$ 、 $\dots$ 、 $(40, 45]$ 分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求出 $a$ 的值，并估计全校学生中运动时长超过 $30$ 分钟的人数；

(2)、在上述选取的 $20$ 名学生中任意选取 $2$ 名学生，设 $Y$ 为运动时长超过 $30$ 分钟的人数，求 $Y$ 的分布列与期望 $E (Y)$ ；

(3)、现将运动时长高于 $35$ 分钟的学生称为“热爱运动者”，现从样本中任意选取 $4$ 名学生，求恰有 $2$ 名学生是“热爱运动者”的概率．

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18、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面ABC， $A B ⊥ A C, A B = 2 A C = 2 A A_{1}$ ， E，F分别为棱AB，BC的中点．

(1)、证明： $B_{1} E ⊥$ 平面 $A_{1} E F$ ．

(2)、求平面 $A_{1} E F$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 夹角的余弦值．

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19、已知函数 $f (x) = x^{3} + \frac{48}{x}$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间和极值．

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20、若函数 $f (x) = 2 \sqrt{2} s i n ω x (ω > 0)$ 的图象与函数 $g (x) = \frac{f^{'} (x)}{ω}$ 的图象的任意连续三个交点的连线构成一个等腰直角三角形，则 $ω =$ ．

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