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1、下列说法正确的是（）

A、命题“ $\forall x > 0, x^{2} - x \geq 1$ ”的否定形式是“ $\exists x \leq 0, x^{2} - x < 1$ ” B、函数 $y = 2 {log}_{a} (3 - x) + 3 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象过定点 $(2, 3)$ C、方程 ${(\frac{1}{2})}^{x} - x = 2$ 的根所在区间为 $(- 1, - \frac{1}{2})$ D、若命题“ $\forall x \in R, x^{2} + 2 a x + a + 2 \geq 0$ 恒成立”为真命题，则“ $a < - 1$ 或 $a > 2$ ”

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2、设函数 $y = m$ 与函数 $y = sin x, y = cos x, y = tan x$ 的图象在 $(0, \frac{π}{2})$ 内交点的横坐标依次是 $x_{1} 、 x_{2} 、 x_{3}$ ，且 $sin (x_{1} + x_{2} + 2 x_{3}) = \frac{1}{2}$ ，则实数 $m =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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3、函数 $f (x) = 2 sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象在区间 $[0, 1)$ 上恰有2个最高点，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{13 π}{6}, \frac{25 π}{6}]$ B、 $(\frac{3 π}{2}, \frac{13 π}{6})$ C、 $[\frac{3 π}{2}, \frac{13 π}{6})$ D、 $[\frac{13 π}{6}, \frac{25 π}{6}]$

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4、如今科技企业掀起一场研发 $AI$ 大模型的热潮， $AI$ 大规模应用成为可能，尤其在图文创意，虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用. $Sigmoid$ 函数和 $Tanh$ 函数是研究人工智能被广泛使用的两种用作神经网络的激活函数， $Tanh$ 函数的解析式为 $tanh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$ ，经过某次测试得知 $tanh \frac{x_{0}}{2} = \frac{1}{2}$ ，则当把变量增加一倍时， $tanh x_{0} =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5、幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m}, \forall x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ 都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立，则下列说法正确的是（）

A、 $m = 2$ B、 $m = 2$ 或 $m = - 1$ C、 $f (x)$ 是偶函数 D、 $f (x)$ 是奇函数

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6、已知正数 $x, y$ 满足 $3^{2 - x} = {(\sqrt{3})}^{2 y}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{5}{2} + \sqrt{2}$ B、 $\frac{3}{2} + \sqrt{2}$ C、 $2 + \sqrt{2}$ D、 $\frac{3}{2} + 2 \sqrt{2}$

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7、设 $a = {log}_{2} 3, b = ln 0.2, c = {0.3}^{0.2}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > a > b$ C、 $a > c > b$ D、 $c > b > a$

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8、已知集合 $A = {x ∣ (x + 1) (x - 2) < 0}, B = \{x ∣ y = ln (x - 1)\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x ∣ x > 2\}$ B、 $\{x ∣ x > - 1\}$ C、 ${x ∣ 1 < x < 2}$ D、 $\{x ∣ x > 1\}$

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9、已知双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，左焦点为 $M (- c, 0)$ ， O为坐标原点， $A_{1}$ 是线段OM的中点.

(1)、求双曲线 $Γ$ 的离心率.

(2)、过点M且斜率不为0的直线l与双曲线 $Γ$ 的左，右两支的交点分别为Q，P.
①若直线l的斜率为1， $|Q P| = 6$ ，求双曲线 $Γ$ 的方程；
②连接QO并延长，交双曲线 $Γ$ 于点R，证明： $A_{1} R ⊥ A_{2} P$ .

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10、如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠CAB＝60°，∠BCD＝120°，AC＝2.
（1）若∠ABC＝30°，求DC；
（2）记∠ABC＝θ，当θ为何值时，△BCD的面积有最小值？求出最小值.

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11、已知函数 $f (x) = 2 sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图， $A (x_{0}, 2)$ ， $f (x_{1}) = f (x_{2}) = - \frac{3}{2}$ ．

(1)、若已知图中点A的横坐标 $x_{0} = 1$ ．
（ⅰ）求 $f (x)$ 的解析式；
（ⅱ）若 $f (x) \geq \sqrt{2}$ ，求x的取值范围；

(2)、求 $sin [\frac{π}{6} (x_{2} - x_{1})]$ 的值．

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12、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b^{2} + (c - b) c = a^{2}$ ．
（1）求 $A$ 的大小；
（2）若 $△ A B C$ 的面积等于 $5 \sqrt{3}$ ， $b = 5$ ，求 $\sin B \sin C$ 的值．

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13、（1）已知 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是夹角为 $60^{°}$ 的两个单位向量， $\vec{a} = \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = 2 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ．求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；
（2）已知 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (2, 0)$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b} - 2 \vec{a}$ 的夹角

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14、 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，点 $P$ 是 $△ A B C$ 所在平面内的动点，满足 $\vec{O P} = \vec{O B} + λ (\frac{\vec{B C}}{| \vec{B C} |} + \frac{\vec{B A}}{| \vec{B A} |}) (λ > 0)$ ．射线 $B P$ 与边 $A C$ 交于点 $D$ ．若 $a \sin A + c \sin C - b \sin B = a \sin C$ ， $B D = 2$ ，则角 $B$ 的值为， $△ A B C$ 面积的最小值为．

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15、在 $△ A B C$ 中， $∠ B = \frac{π}{6}, A C = \sqrt{5}, D$ 是 $A B$ 边上一点， $C D = 2, △ A C D$ 的面积为 $2$ ， $∠ A C D$ 为锐角，则 $B C =$ ．

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16、向量 $\overset{⃑}{a} = (2, 3)$ 与向量 $\overset{⃑}{b} = (- 1, x)$ 的夹角为钝角，则 $x$ 的取值集合为.

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17、对于非零向量 $\vec{a} = (x, y)$ ，定义变换 $F (\vec{a}) = (x + y, x - y)$ 以得到一个新的向量．关于该变换，下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $F (\vec{a}) ∥ F (\vec{b})$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $F (\vec{a}) ⊥ F (\vec{b})$ C、存在 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 使得 $cos ⟨F (\vec{a}), F (\vec{b})⟩ = cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ + \frac{1}{2}$ D、设 $\vec{a_{0}} = (- 5, 2)$ ， $\vec{a_{1}} = F (\vec{a_{0}})$ ， $\vec{a_{2}} = F (\vec{a_{1}})$ ，．．．， $\vec{a_{2023}} = F (\vec{a_{2022}})$ ，则 $\vec{a_{0}} \cdot \vec{a_{2023}} = 2^{1011}$

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18、下列命题中正确的是（）

A、非零向量 $\overset{⃑}{a} 、 \overset{⃑}{b}$ 满足 $|\overset{⃑}{a} |=| \overset{⃑}{b} |=| \overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}|$ ，则 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}$ 的夹角为 $30^{\circ}$ B、已知非零向量 $\overset{⃑}{a} 、 \overset{⃑}{b}$ ，若 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} > 0$ ，则 $\overset{⃑}{a} 、 \overset{⃑}{b}$ 的夹角为锐角 C、若 $M$ 是 $△ A B C$ 所在平面上的一点，且满足 $(\overset{⃑}{M A} + \overset{⃑}{M B} - 2 \overset{⃑}{M C}) (\overset{⃑}{M A} - \overset{⃑}{M B}) = 0$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 D、在 $△ A B C$ 中，若点 $P$ 满足 $\overset{⃑}{P A} \cdot \overset{⃑}{P B} = \overset{⃑}{P B} \cdot \overset{⃑}{P C} = \overset{⃑}{P C} \cdot \overset{⃑}{P A}$ ，则 $P$ 为 $△ A B C$ 的垂心

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19、在 $△ A B C$ 中， $A = 60^{\circ}$ ，角 $A$ 所对的边 $a = \sqrt{3}$ ，下列结论正确的为（）

A、若 $0 < b \leq 2$ ， $△ A B C$ 有一个解 B、若 $b > 2$ ， $△ A B C$ 无解 C、若 $\sqrt{3} < b < 2$ ， $△ A B C$ 有两个解 D、若 $0 < b \leq \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 有一个解

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20、如图，在边长为2的等边 $△ A B C$ 中，点 $E$ 为中线 $B D$ 的三等分点（靠近点 $B$ ），点 $F$ 为 $B C$ 的中点，则 $\vec{F E} \cdot \vec{E C} =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $- \frac{5}{6}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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