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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \sin x - \cos x$ ．

(1)、求方程 $f (α) = \cos 2 α$ 在 $[0, 2 π]$ 上的解集；

(2)、设函数 $F (x) = f (x) + 2 \ln x,$ $x \in (\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ ．
①求 $y = F (x)$ 在区间 $(\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ 上的零点个数；
②记函数 $y = F (x)$ 的零点为 $x_{0}$ ，证明： $- \frac{1}{2} < \ln x_{0} + \frac{1}{4} \sin 2 x_{0} < \frac{1}{4}$ ．

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2、海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐，潮汐具有周期现象.某海滨浴场内水位 $y$ （单位： $m$ ）是时间 $t (0 \leq t \leq 24$ ，单位： $h)$ 的函数，记作 $y = f (t)$ ，下面是某天水深的数据：
$t$
0
3
6
9
12
15
18
21
24
$y$
2
1.5
1
1.5
2
1.5
1
1.5
2
经长期观察， $y = f (t)$ 的曲线可近似的满足函数 $y = A sin (ω x + φ) + b (A > 0, ω > 0)$ .

(1)、根据表中数据，作出函数简图，并求出函数 $y = f (t)$ 一个近似表达式；

(2)、一般情况下，水深超过1.25米该海滨浴场方可开放，另外，当水深超过1.75米时，由于安全原因，会被关闭，那么该海滨浴场在一天内的上午7：00到晚上19：00，有多长时间可以开放？

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3、正割（secant）及余割（cosecant）这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔·威发首先引入． $sec,csc$ 这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割 $secα ＝ \frac{1}{cosα}$ ，余割 $cscα = \frac{1}{sinα}$ ．已知 $m$ 为正实数，且 ${sec}^{2} x + m {csc}^{2} x \geq 9$ 对任意的实数 $x (x \neq \frac{k π}{2}, k \in Z)$ 均成立，则 $m$ 的最小值为．

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4、已知 $x, y \in [0, \frac{π}{4}]$ ，且 $\sin x + \cos y = 1$ ， $\cos x + \sin y = \sqrt{2}$ 则 $\sin (x + y) =$ ．

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5、已知 $\cos (\frac{π}{6} - α) = - \frac{1}{2}$ ，则 $\sin (\frac{4 π}{3} + α) =$ ．

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6、下列各式中，值为 $\frac{1}{2}$ 的是（）

A、 $\sin \frac{13 π}{6}$ B、 $2 \sin \frac{π}{12} \cos \frac{π}{12}$ C、 $2 \cos^{2} \frac{π}{12} - 1$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2} \tan \frac{7 π}{6}$

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7、已知函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{3})$ ，若方程 $f (x) = a (a > 0)$ 在 $(0, π)$ 的解为 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，且 $sin (x_{1} - x_{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则 $a =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8、如图所示，两动点 $P, Q$ 在以坐标原点 $O$ 为圆心，半径为1的圆上从点 $A (1, 0)$ 处同时出发做匀速圆周运动．已知点 $P$ 按逆时针方向每秒钟转 $α$ 弧度，点 $Q$ 按顺时针方向每秒钟转 $β$ 弧度 $(0 < α < β < π)$ ，且 $P, Q$ 两点在第2秒末第一次相遇于点 $(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 处，则它们从出发后到第2次相遇时，点 $P$ 走过的总路程为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{8 π}{3}$

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9、分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径，在另外两个顶点之间画一段劣弧，由这样的三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图所示.已知某勒洛三角形的周长是 $6 π$ ，则该勒洛三角形的面积是（）

A、 $18 π - 18 \sqrt{3}$ B、 $18 π + 18 \sqrt{3}$ C、 $18 π - 18$ D、 $18 π + 18$

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10、在斜三角形ABC中，“ $A < B$ ”是“ $\tan A < \tan B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、已知点 $P (m, - 1)$ 在角 $α$ 的终边上，若 $c o s α = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ，则（）

A、 $m = 3$ B、 $α$ 为第二象限的角 C、 $sin α = \frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\tan α = \frac{1}{3}$

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12、已知 $α$ 是第二象限角且 $sin α = \frac{3}{5}$ ， $2 sin β - cos β = 0$ ，则 $tan (α - β)$ 的值为（）

A、1 B、－1 C、－2 D、 $\frac{2}{11}$

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13、计算 $\sin 20^{\circ} \cos 70^{\circ} - \cos 160^{\circ} \sin 70^{\circ}$ 的值等于（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $\sin 50^{\circ}$ D、 $- \sin 50^{\circ}$

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14、与 $- 465 °$ 角终边相同的角的集合是（）

A、 $\{α ∣ α = 465 ° + k \cdot 360 °, k \in Z\}$ B、 $\{α ∣ α = 105 ° + k \cdot 360 °, k \in Z\}$ C、 $\{α ∣ α = 255 ° + k \cdot 360 °, k \in Z\}$ D、 $\{α ∣ α = 75 ° + k \cdot 360 °, k \in Z\}$

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15、信息在传送中都是以字节形式发送，每个字节只有0或1两种状态，为保证信息在传送中不至于泄露，往往需要经过多重加密，若 $A$ ， $B$ 是含有一个字节的信息，在加密过程中，会经过两次加密，第一次加密时信息中字节会等可能的变为0或1，且0，1之间转换是相互独立的，第二次加密时，字节中0或1发生变化的概率为 $p$ ，若 $A$ ， $B$ 的初始状态为0，1或1，0，记通过两次加密后 $A$ ， $B$ 中含有字节1的个数为 $X$ .

(1)、若两次加密后的 $A$ ， $B$ 中字节1的个数为2，且 $p = \frac{1}{3}$ ，求 $A$ ， $B$ 通过第一次加密后字节1的个数为2的概率；

(2)、若一条信息有 $n (n > 1, n \in N^{*})$ 种等可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为 $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}$ ，则称 $H = f (p_{1}) + f (p_{2}) + \dots + f (p_{n})$ （其中 $f (x) = - x {log}_{2} x$ 为这条信息的信息熵，试求 $A$ ， $B$ 经过两次加密后字节1的个数为 $X$ 的信息熵 $H$ ；

(3)、将一个字节为0的信息通过第二次加密，当字节变为1时停止，否则重复第二次加密直至字节变为1，设停止加密时该字节第二次加密的次数为 $Y (Y = 1, 2, 3, \dots, n)$ .证明： $E (Y) < \frac{1}{p}$ .

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16、为了更好了解两会知识，某高中拟组织一次两会知识测试，从全校学生中随机抽取30人进行模拟测试，其中高一年级组12人，高二年级组10人，高三年级组8人，测试共分为两轮.

(1)、第一轮测试按高一､高二､高三3个小组顺次进行，若一切正常，参测小组完成测试的时间为20分钟；若出现异常情况，则参测小组需要延长5分钟才能完成测试.已知每一小组正常完成测试的概率均为 $\frac{3}{4}$ ，且各小组是否正常完成测试互不影响.记3个小组全部完成测试所需总时间为 $X$ ，求 $X$ 的分布列；

(2)、第二轮测试将3组同学混合进行排序，每位同学按排序顺次进行面试，且每人测试时间相等.
①求最后一名同学来自高一年级组的条件下，高二年级组同学比高三年级组同学提前完成面试的概率；
②若所有参加面试的同学都可以得到一本“两会纪念册”，成绩优秀的同学还可以多得一本“两会纪念册”，已知每一名同学面试成绩优秀的概率均为 $\frac{1}{3}$ ，设这30名同学所得“两会纪念册”总数恰好为 $n$ 个的概率为 $P_{n}$ ，当 $P_{n}$ 取最大值时，求 $n$ 的值.

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17、（1）已知 ${(\sqrt[3]{x^{2}} + 3 x^{2})}^{n}$ 的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大240，求展开式中二项式系数最大的项.
（2）已知 ${(\sqrt{x} + \frac{2}{x^{2}})}^{n}$ 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项.

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18、用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成多少个符合下列条件的数字？（用数字作答）

(1)、无重复数字的四位奇数；

(2)、无重复数字且能被5整除的四位数；

(3)、无重复数字且比1203大的四位数.

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19、甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为 $α$ ，乙获胜的概率为 $β$ ， $(α + β = 1, α > 0, β > 0)$ ，且每局比赛结果相互独立．
①若 $α = \frac{2}{3}, β = \frac{1}{3}$ ，则甲运动员恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率为；
②若比赛最多进行5局，则比赛结束时比赛局数 $X$ 的期望 $E (X)$ 的最大值为．

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20、亚冬会期间，组委会将5名志愿者分配到三个场馆进行引导工作，每个场馆至少分配一人，每人只能去一个场馆.若甲､乙要求去同一个场馆，则所有不同的分配方案的种数为.

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$t$	0	3	6	9	12	15	18	21	24
$y$	2	1.5	1	1.5	2	1.5	1	1.5	2