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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (3, 2), \vec{b} = (x, - 1)$ ．

(1)、当 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (2 \vec{a} - \vec{b})$ 且 $x > 0$ 时，求 $|\vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、当 $\vec{c} = (- 8, - 1), \vec{a} ∥ (\vec{b} + \vec{c})$ ，求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $α$ ．

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2、已知点P为 $△ A B C$ 内一点， $P C = 2, P B = 3, A C = 4, A B = 5$ ，则 $\vec{B C} \cdot \vec{P A} =$ ．

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3、已知是O坐标原点， $A (1, - 3), B (4, - \frac{1}{2}), C (2 a - 1, a + 2)$ ，若点C满足 $\vec{O C} = \cos^{2} θ \cdot \vec{O A} + 2 \sin^{2} θ \cdot \vec{O B}$ ，则a的值为．

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4、已知 $A (3, 2)$ ， $B (- 1, - 1)$ ，若点 $P (x, - \frac{1}{2})$ 在线段AB的中垂线上，则 $x =$ .

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5、已知 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $(\sqrt{3} c - 2 a \sin B) \sin C = \sqrt{3} (b \sin B - a \sin A)$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $\cos A \cos C$ 的取值范围是 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ B、若D是AC边上的一点，且 $\vec{C D} = 2 \vec{D A}, B D = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、若三角形 $A B C$ 是锐角三角形，则 $\frac{c}{a}$ 的取值范围是 $(\frac{1}{2}, 2)$ D、若O是 $△ A B C$ 的外心， $\vec{O B} = m \vec{O A} + n \vec{O C}$ ，则 $m + n \in [- 2, 1)$

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6、正方形ABCD的边长为2，E是BC中点，如图，点P是以AB为直径的半圆上任意点， $\overset{⃑}{A P} = λ$ $\overset{⃑}{A D} + μ \overset{⃑}{A E}$ ，则（）

A、 $λ$ 最大值为 $\frac{1}{2}$ B、 $μ$ 最大值为1 C、 $\overset{⃑}{A P} \cdot \overset{⃑}{A D}$ 最大值是2 D、 $\overset{⃑}{A P} \cdot \overset{⃑}{A E}$ 最大值是 $\sqrt{5} + 2$

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7、已知凸四边形 $A B C D$ 内接于圆 $O$ ， $∠ A B D = 2 ∠ C B D$ ， $\frac{A D}{C D} = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ，则 $\frac{B D}{A C}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{2}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{5}$

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8、我们定义：“ $\vec{a} \times \vec{b}$ ”为向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的“外积”，若向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，它的长度规定 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \sin θ$ ，现已知：在 $△ A B C$ 中，若 $|\vec{A B} + \vec{A C}| = 1, |\vec{C A} + \vec{C B}| = 2$ ，则 $|\vec{A B} \times \vec{A C}|$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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9、冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求，该同学取端点绘制了△ABD，测得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若点C恰好在边BD上，请帮忙计算sin∠ACD的值（）

A、 $\frac{5}{9}$ B、 $\frac{2 \sqrt{14}}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{22}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{14}}{6}$

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10、已知 $A D, B E$ 分别为 $△ A B C$ 的边 $B C, A C$ 上的中线，设 $\vec{A D} = \vec{a}$ ， $\vec{B E} = \vec{b}$ ，则 $\vec{B C}$ ＝（）

A、 $\frac{4}{3}$ $\vec{a}$ ＋ $\frac{2}{3}$ $\vec{b}$ B、 $\frac{2}{3}$ $\vec{a}$ ＋ $\frac{4}{3}$ $\vec{b}$ C、 $\frac{2}{3}$ $\vec{a}$ $- \frac{4}{3}$ $\vec{b}$ D、 $- \frac{2}{3}$ $\vec{a}$ ＋ $\frac{4}{3}$ $\vec{b}$

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11、已知点 $P (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ 在角 $θ$ 的终边上，且 $θ \in [0, \frac{π}{2})$ ，则 $θ$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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12、已知函数 $f (x) = - x^{3} + b x^{2} + c x$ 在 $x = - 2$ 处取得极值 $- 8$ .

(1)、求实数 $b$ ， $c$ 的值

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 3, 3]$ 上的最大值和最小值

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13、在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ .已知 $\cos C = \frac{7}{8}$ ， $3 b = 4 a$ .

(1)、求 $c o s B$ 的值；

(2)、求 $\sin (2 B + \frac{π}{6})$ 的值.

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，且 $b_{n} = {(- 1)}^{n} \frac{n}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，若不等式 $T_{n} \leq λ (n \in N^{*})$ 恒成立，则实数 $λ$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- 1$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{5}$

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15、已知函数 $f (x) = \cos^{2} x + \sqrt{3} \sin x \cos x + m (m \in R)$ 的图象过原点.

(1)、求 $m$ 的值及 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[0, t]$ 上单调递增，求正数 $t$ 的最大值.

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16、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0$ 关于直线 $m x + 2 y - 1 = 0$ 对称，则实数 $m =$ （）

A、6 B、4 C、3 D、7

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17、已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ ， $B = \{x \in N |x^{2} - 11 x + 24 \leq 0\}$ ，记 $A \cap B = S$ ， $A \cup B = T$ .

(1)、求集合S，T；

(2)、对于只含有四个正整数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 的集合P，若 $|x_{1} x_{2} - x_{3} x_{4}|$ 的最小值是k，则称集合P是“k阶积差四元集”.
（ⅰ）若 $k = 1$ ，求“1阶积差四元集”C，且满足 $C \subseteq S$ ；
（ⅱ）若 $k = 2$ ，是否存在“2阶积差四元集”M，N，使得 $M \cup N = T$ ？若存在，求出所有集合M，N；若不存在，说明理由.

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18、已知函数 $f (x) = \frac{a^{x} - a^{- x}}{2}$ ， $g (x) = \frac{a^{x} + a^{- x}}{2}$ ，其中 $a > 1$ .

(1)、判断 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的奇偶性；

(2)、证明： $f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) g (y)$ ；

(3)、若对任意 $x_{1} \in [0, 1]$ ，存在 $x_{2} \in [0, 1]$ ，恒有 $5 f (x_{1}) g (x_{2}) \geq f (2 x_{1} + 2 x_{2}) + f (2 x_{1} - 2 x_{2})$ 成立，求a的取值范围.

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19、已知函数 $f (x) = \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4} + \sqrt{3} \cos^{2} \frac{x}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、若 $g (x) = f (x) - m$ 在 $[0, π]$ 上有两个零点，求m的取值范围.

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20、声强级 $L_{I}$ （单位：dB）由公式 $L_{I} = k \lg I + b$ 给出，其中I为声强（单位： $W / m^{2}$ ），k，b为常数.研究发现正常人听觉能忍受的最高声强为 $1 W / m^{2}$ ，此时声强级为120dB；平时常人交谈时的声强约为 $10^{- 6} W / m^{2}$ ，此时声强级为60dB.

(1)、求k，b的值；

(2)、实验结果表明，噪声可以降低人的视力敏感性，当噪声声强级达到90dB至115dB时，视网膜中的视杆细胞对光亮度的敏感性会下降，识别弱光反应的时间也会延长.某种型号的拖拉机声的声强约为 $10^{- 2} W / m^{2}$ ，若司机长时间在这种噪音环境下驾驶，试判断是否会降低他的视力敏感性？

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