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相关试卷

1、已知复数 $z$ 在复平面上对应点在第四象限，且 $|z| = \sqrt{2}$ ， $z^{2}$ 的虚部为 $- 2$ .

(1)、求复数 $z$ ；

(2)、设复数 $z$ 、 $\bar{z}$ 、 $z^{2}$ 在复平面上对应点分别为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，求 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的值.

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2、在 $△ A B C$ 中，三边长分别为 $a - 2, a, a + 2$ ，最大角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $a =$ ．

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3、若 $|\vec{a}| = 2$ ，向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的数量投影为－1，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ =$ .

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4、设平面向量 $\vec{a} = (5, k)$ ， $\vec{b} = (2, 8)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $k =$ ．

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5、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 是正方形 $A B C D$ 的中心，则下列说法正确的是（）

A、 $A_{1} O ⊥ B_{1} D_{1}$ B、 $A_{1} O$ 与平面 $A B C D$ 的成角大于 $60 °$ C、平面 $A_{1} O D_{1}$ $⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ D、三棱锥 $A - A_{1} O D$ 的体积是正方体体积的 $\frac{1}{12}$

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6、下列命题中，正确的是（）

A、对于任意向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，有 $|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$ B、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $\vec{a} = \vec{0}$ 或 $\vec{b} = \vec{0}$ C、对于任意向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，有 $|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$ D、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 共线，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \pm |\vec{a}| |\vec{b}|$

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7、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为a，点E，F，G，H，I分别为线段 $A_{1} D_{1}$ ， $A_{1} B_{1}$ ， $B_{1} B$ ， BC， $B_{1} D_{1}$ 的中点，连接 $C D_{1}$ ， $B_{1} D_{1}$ ， $B_{1} C$ ， DE，BF，CI，则下列正确结论的个数是（）
①点E，F，G，H在同一个平面上；
②平面 $C B_{1} D_{1}$ ∥平面EFD；
③直线DE，BF，CI交于同一点；
④直线BF与直线 $B_{1} C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ．

A、1 B、2 C、3 D、4

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8、在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D = 4$ ， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， $E$ ， $H$ 分别为 $A B$ ， $C D$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿直线 $D E$ 折起，构成如图所示的四棱锥 $A^{'} - B C D E$ ， $F$ 为 $A^{'} C$ 的中点，则下列说法不正确的是（）

A、平面 $B F H //$ 平面 $A^{'} D E$ B、四棱锥 $A^{'} - B C D E$ 体积的最大值为 $3$ C、无论如何折叠都无法满足 $A' D ⊥ B C$ D、三棱锥 $A^{'} - D E H$ 表面积的最大值为 $2 \sqrt{3} + 4$

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9、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 90^{\circ}, A B = A D = 2, △ B C D$ 为等边三角形，当点 $M$ 在对角线 $A C$ 上运动时， $\vec{M C} \cdot \vec{M D}$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、-1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、2

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10、若 $z = 1 + i$ 则 $|i z + 3 z| =$ （）

A、 $4 \sqrt{5}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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11、下列命题中，正确命题的个数是（）
①四边相等的四边形为菱形；
②若四边形有两个对角都为直角，则这个四边形是圆内接四边形；
③“平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”；
④若两个平面有一条公共直线，则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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12、在四边形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ，若 $\vec{A C} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D} (λ, μ \in R)$ ，且 $λ + μ = 3$ ，则 $\frac{| \vec{C D} |}{| \vec{A B} |} =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、3 C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $P$ 在线段 $B C$ 上，满足 $2 \vec{B P} = \vec{P C}$ ， $O$ 为线段 $A P$ 上一点，且 $\vec{B O} = \frac{1}{3} \vec{B A} + λ \vec{B C}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{9}$

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14、设复数 $z = \frac{1 + i}{i}$ ，则z的共轭复数为（）．

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、1 D、 $i$

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15、若对任意的正实数 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (m, + \infty)$ ，当 $x_{1} < x_{2}$ 时， $\frac{x_{1} \ln x_{2} - x_{2} \ln x_{1}}{x_{1} - x_{2}} > 2$ 恒成立，则 $m$ 的取值范围（）

A、 $[e^{3}, + \infty)$ B、 $[e^{2}, + \infty)$ C、 $[e, + \infty)$ D、 $[e, e^{2}]$

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16、如图， $E, F$ 分别是矩形 $A B C D$ 的边 $C D$ 和 $B C$ 上的动点，且 $A B = 2, A D = 1$ .
（1）若 $E, F$ 都是中点，求 $\vec{E F} \cdot \vec{A C}$ .
（2）若 $E, F$ 都是中点， $N$ 是线段 $E F$ 上的任意一点，求 $\vec{A N} \cdot \vec{N B}$ 的最大值.
（3）若 $∠ E A F = 45 °$ ，求 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的最小值.

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17、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 图象的两条相邻对称轴之间的距离是 $\frac{π}{2}$ ，且 $f (0) = \sqrt{2}$ ，将 $f (x)$ 的图象向右平移 $φ$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象．

(1)、求 $g (x)$ 的解析式；

(2)、求不等式 $g (x) > 1$ 的解集；

(3)、设函数 $h (x) = 2^{x} + \frac{a}{2^{x - 1}} - 1$ ，若对任意的 $x_{1} \in [\frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{2}]$ ， $x_{2} \in [0, + \infty)$ ，都有 $g (x_{1}) <$ $h (x_{2})$ ，求 $a$ 的取值范围．

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18、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = \sqrt{2}$ ， $|\vec{b}| = 3$ ，且 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (3 \vec{a} - \vec{b})$ ．

(1)、求向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、若 $|t \vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{17}$ ，求 $t$ 的值．

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19、已知函数 $f (x) = 3 cos (ω x + \frac{π}{3}) + 1 (ω > 0)$ 在 $[\frac{π}{2}, \frac{2 π}{3}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围是．

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20、某数学兴趣小组成员为测量 $A$ ， $B$ 两地之间的距离，测得 $B$ 在 $C$ 的北偏东 $30^{\circ}$ 方向上， $A$ 在 $C$ 的北偏西 $30^{\circ}$ 方向上， $A$ 在 $D$ 的北偏东 $15^{\circ}$ 方向上， $B$ 在 $D$ 的北偏东 $75^{\circ}$ 方向上， $C$ 在 $D$ 的正东方向上，且 $C$ ， $D$ 相距20千米，则 $A$ ， $B$ 两地之间的距离是千米.

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