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相关试卷

1、若复数 $a^{2} - 2 a + a i$ 是纯虚数，则实数 $a =$ ．

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2、已知函数 $f (x) = sin x \cdot sin (x + \frac{π}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} {cos}^{2} x$ ，将 $f (x)$ 的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，最后再把所有点的纵坐标伸长到原来的3倍．得到函数 $g (x)$ 的图象．

(1)、求函数 $f (x)$ 图象的对称中心，并写出函数 $g (x)$ 的解析式；

(2)、关于 $x$ 的方程 $g (x) + cos x - a = 0$ 在 $[0, \frac{3 π}{2}]$ 内有两个不同的解 $θ_{1}$ ， $θ_{2}$ ；
①求实数 $a$ 的取值范围；
②用 $a$ 的代数式表示 $cos (θ_{1} - θ_{2}) + \sqrt{10} sin (\frac{θ_{1} + θ_{2}}{2})$ 的值．

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3、如图，已知扇形 $A O B$ 半径为1，圆心角为 $θ = \frac{π}{3}$ ， $P$ 是扇形弧上的动点，记 $∠ A O P = α$ ，

(1)、请用 $α$ 来表示平行四边形 $O C P Q$ 的面积 $f (α)$ ；

(2)、求平行四边形 $O C P Q$ 面积的最大值，以及面积最大时角 $α$ 的值；

(3)、设 $g (α) = \sqrt{3} [f (α) + \frac{\sqrt{3}}{6}]$ ，若 $g (x) = \frac{4}{5} (\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{π}{3})$ ，求 $g (x + \frac{π}{6})$ ．

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4、某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为28米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为 $T = 24$ 分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1∼12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离 $h$ 与时间 $t$ 的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为 $t$ 分钟．

(1)、求1号座舱与地面的距离 $h$ 与时间 $t$ 的函数关系 $h (t)$ 的解析式；

(2)、若只考虑前24分钟，
（i）求1号座舱与地面的距离为16米时 $t$ 的值；
（ii）记1号座舱与4号座舱高度之差的绝对值为 $H$ 米，求 $H$ 的最大值和当 $H$ 取得最大值时 $t$ 的值．

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5、如图所示，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是边 $B C$ 上的中线， $E$ 为 $A D$ 中点，过点 $E$ 的直线交边 $A B$ ， $A C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，设 $\vec{A D} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ， $\vec{A B} = λ \vec{A M}$ ， $\vec{A C} = μ \vec{A N}$ ，（ $M$ ， $N$ 与点 $B$ ， $C$ 不重合）

(1)、求 $x$ 和 $y$ 的值；

(2)、证明： $λ + μ$ 为定值；

(3)、求 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ}$ 的最小值，并求此时的 $λ$ ， $μ$ 的值．

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6、解答下列各题：

(1)、证明： $\frac{tan α + tan β}{tan α - tan β} = \frac{sin (α + β)}{sin (α - β)}$ ．

(2)、化简并求值 $tan 70^{\circ} - \frac{2 cos 80^{\circ}}{cos 70^{\circ}}$ ．

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7、已知函数 $f (x) = tan (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的相邻两个对称中心的距离为 $\frac{3}{2}$ ，且 $f (1) = - \sqrt{3}$ ，则函数 $y = f (x)$ 的图像与函数 $y = \frac{1}{x - 2}$ （ $- 2019 < x < 2023$ 且 $x \neq 2$ ）的图象所有交点横坐标之和为．

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8、已知 $- \frac{π}{2} < α < \frac{π}{2}$ ， $0 < β < π$ ， $sin α = \frac{3}{5}$ ， $cos β = - \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ ，则 $α - β =$ ．

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9、若等边三角形 $A B C$ 的边长为 $4$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} =$ ；

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10、已知函数 $f (x) = - m sin x + cos 2 x$ ，则（）

A、当 $m = - 1$ 时，函数 $y = f (x)$ 在区间 $(0, 2027 π)$ 上恰有3040个零点 B、当 $m < - 1$ 时，函数 $y = f (x)$ 在区间 $(0, 2027 π)$ 上恰有2026个零点 C、当 $m > 1$ 时，函数 $y = f (x)$ 在区间 $(0, n π)$ 上恰有2168个零点，则正整数 $n$ 的值是2168 D、当 $- 1 < m < 1$ 时，函数 $y = f (x)$ 在区间 $(0, 2027 π)$ 上恰有4054个零点

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11、已知如图是函数 $f (x) = 2 cos (ω x + φ)$ ， $(ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < 0)$ 的部分图象，则（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、函数 $f (x)$ 的在 $(- 1, 2)$ 上单调递增 C、若 $\exists x \in [- π, 0]$ 使得 $m > f (x)$ 恒成立，则 $m > - \sqrt{3}$ D、 $y = f (x)$ 在 $[0, m)$ 上存在最大值，不存在最小值，则 $m$ 取值范围是 $[\frac{2 π}{3}, \frac{8 π}{3})$

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12、下列说法正确的是（）

A、若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B、 $|\vec{a}| - |\vec{b}| = |\vec{a} + \vec{b}|$ 是 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共线的充分不必要条件 C、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ D、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$

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13、 $f (x)$ 满足： $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, 1)$ 都有 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ， $a = 2 sin 7^{\circ} sin 83^{\circ}$ ， $b = \frac{2 tan 8^{\circ}}{1 + {tan}^{2} 8^{\circ}}$ ， $c = 2 {cos}^{2} \frac{5 π}{24} - 1$ ，则 $\frac{f (a)}{a}$ ， $\frac{f (b)}{b}$ ， $\frac{f (c)}{c}$ 的大小顺序为（）

A、 $\frac{f (a)}{a} < \frac{f (b)}{b} < \frac{f (c)}{c}$ B、 $\frac{f (a)}{a} < \frac{f (c)}{c} < \frac{f (b)}{b}$ C、 $\frac{f (b)}{b} < \frac{f (c)}{c} < \frac{f (a)}{a}$ D、 $\frac{f (c)}{c} < \frac{f (a)}{a} < \frac{f (b)}{b}$

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14、已知 $cos α - cos β = \frac{2 \sqrt{3}}{5}$ ， $sin α - sin β = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$ ，则 $cos (α - β) =$ （）

A、 $\frac{24}{25}$ B、 $- \frac{24}{25}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $- \frac{7}{25}$

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15、已知平行四边形 $A B C D$ 的两条对角线交于点 $O$ ， $\vec{A E} = \frac{1}{4} \vec{A C}$ ，则（）

A、 $\vec{D E} = \frac{3}{4} \vec{D A} - \frac{1}{4} \vec{D C}$ B、 $\vec{D E} = \frac{1}{4} \vec{D A} + \frac{3}{4} \vec{D C}$ C、 $\vec{B E} = \frac{3}{2} \vec{B O} + \frac{1}{2} \vec{B C}$ D、 $\vec{B E} = \frac{3}{2} \vec{B O} - \frac{1}{2} \vec{B C}$

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16、要得到函数 $y = sin (x + \frac{π}{3})$ 的图象，只需将函数 $y = cos x$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 D、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度

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17、函数 $f (x) = \frac{\sin x}{\sqrt{1 - \sin^{2} x}}$ 在区间 $[- π, π]$ 内的大致图象是下列图中的（）

A、 B、 C、 D、

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18、若 $α, β \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ， “ $sin α = sin β$ ”是“ $cos α = cos β$ ”的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、即不充分又不必要

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19、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于非零向量 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1}), \vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，定义这两个向量的“相离度”为 $d (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{|x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}|}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}} \cdot \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2}}}$ ，容易知道 $\vec{a}, \vec{b}$ 平行的充要条件为 $d (\vec{a}, \vec{b}) = 0$ .

(1)、已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{5}, 2), \vec{b} = (1, - 4 \sqrt{5})$ ，求 $d (\vec{a}, \vec{b})$ ；

(2)、（i）设向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，证明： $d (\vec{a}, \vec{b}) = sin θ$ ；
（ii）在 $△ A B C$ 中， $A B = 4, A C = 8, D$ 为 $B C$ 的中点，且 $A D = 2 \sqrt{7}$ ，若 $\vec{A D} = 2 \vec{P D}$ ，求 $d (\vec{A P}, \vec{B P})$ .

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20、2024年是宿州市泗县北部新城建立7周年，泗县县政府始终坚持财力有一分增长，民生有一分改善，全力打造我县民生样板，使寸土寸金的商业用地变身“城市绿肺”，老厂房、旧仓库变身步行道、绿化带等.现有一足够大的老厂房，计划对其改造，规划图如图中五边形 $A B C D E$ 所示，其中 $△ B D E$ 为等腰三角形，且 $∠ C D E = \frac{11 π}{12}, ∠ B C D = \frac{π}{3}, ∠ C B D = \frac{π}{4}, C D = 4 km$ ，计划沿线段BE修建步行道.

(1)、求步行道BE的长度；

(2)、现准备将 $△ A B E$ 区域建为绿化带且 $∠ B A E = \frac{2 π}{3}$ ，当绿化带的周长最大时，求该绿化带的周长与面积.

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