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相关试卷

1、已知 $\overset{⃑}{a} = (1, - 1, 1)$ 是直线 $l_{1}$ 的一个方向向量， $\overset{⃑}{b} = (2, 2, - 2)$ 是直线 $l_{2}$ 的一个方向向量，则下列说法不正确的是（）

A、 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} = (2, - 2, - 2)$ B、 $l_{1} // l_{2}$ C、 $l_{1} ⊥ l_{2}$ D、直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$

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2、已知点 $P$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆的左、右焦点，若 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = - 2$ ，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为1，则 $a^{2}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 $\sqrt{3}$ D、4

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3、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b} = (1, - 1)$ 满足 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则 $|\vec{a}| =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、1

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4、直线 $(a + 1) x + 3 y + 3 = 0$ 与直线 $x + (a - 1) y + 1 = 0$ 平行，则实数 $a$ 的值为（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、2或 $- 2$

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5、用 $0, 1, 2, 3, 4$ 五个数字，问：

(1)、可以组成多少个无重复数字的四位密码？

(2)、可以组成多少个无重复数字的四位数？

(3)、可以组成多少个十位数字比个位数字大的无重复数字的四位偶数？

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6、甲、乙等6位同学去三个社区参加义务劳动，每个社区安排2位同学，每位同学只去一个社区，则甲、乙到同一社区的不同安排方案共有.

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{3} + 2 x^{2} + \frac{21}{20} x, x \leq 0 \\ \frac{\ln x}{x}, x > 0 \end{array}$ ， $g (x) = f (x) - a x$ ，若函数 $g (x)$ 有5个零点，则a的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{1}{e})$ B、 $(0, \frac{1}{2 e})$ C、 $(\frac{1}{20}, \frac{1}{e})$ D、 $(\frac{1}{20}, \frac{1}{2 e})$

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8、2023年10月23日，杭州亚运会历时16天圆满结束.亚运会结束后，甲､乙､丙､丁､戊五名同学排成一排合影留念，其中甲､乙均不能站左端，且甲､丙必须相邻，则不同的站法共有（）

A、18种 B、24种 C、30种 D、36种

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9、已知 $f (x)$ 为R上的可导函数，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且对于任意的 $x \in R$ ，均有 $f (x) + f^{'} (x) > 0$ ，则（）

A、 $e^{- 2025} f (- 2025) < f (0)$ ， $e^{2025} f (2025) > f (0)$ B、 $e^{- 2025} f (- 2025) < f (0)$ ， $e^{2025} f (2025) < f (0)$ C、 $e^{- 2025} f (- 2025) > f (0)$ ， $e^{2025} f (2025) > f (0)$ D、 $e^{- 2025} f (- 2025) > f (0)$ ， $e^{2025} f (2025) < f (0)$

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10、下列结论中，正确的是（）

A、 ${(\cos \frac{π}{3})}^{'} = - \sin \frac{π}{3}$ B、 ${(\sin 2 x)}^{'} = \cos 2 x$ C、 ${(\frac{\cos x}{x})}^{'} = \frac{x \sin x - \cos x}{x^{2}}$ D、 ${(\log_{5} x)}^{'} = \frac{1}{x \ln 5}$

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11、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 1 = 0$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 2 y - 8 = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、过点 $A (3, 1)$ 作圆 $C_{2}$ 的切线有且只有一条 B、圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 共有4条公切线 C、若M，N分别为两圆上的点，则M，N两点间的最大距离为 $5 + \sqrt{10}$ D、若E，F为圆 $C_{2}$ 上的两个动点，且 $|E F| = 4$ ，则线段 $E F$ 的中点的轨迹方程为 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 5$

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12、如图，设 $O x, O y$ 是平面内相交成 $60 °$ 角的两条数轴， $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 分别是x轴与y轴正方向同向的单位向量，若向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量在斜坐标系 $x O y$ 中的坐标，记为 $\vec{O P} = (x, y)$

(1)、在斜坐标系 $x O y$ 中， $\vec{O P} = (3, 2)$ ，求 $| \vec{O P} |$ ；

(2)、在斜坐标系 $x O y$ 中已知 $\vec{a} = (\sin θ, 2), \vec{b} = (\cos θ, 1), (\frac{π}{4} \leq θ \leq \frac{π}{2})$ ，求 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的最大值．

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13、已知 $\sin α = \frac{\sqrt{5}}{5}, \sin β = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，且 $α$ 和 $β$ 均为钝角，求：

(1)、 $\sin (α - β), \tan (α - β)$ ；

(2)、 $α + β$ ．

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14、已知向量 $\vec{O P} = (3, 4)$ 如图所示，将向量 $\vec{O P}$ 绕原点O沿逆时针方向旋转 $45 °$ 到 $\vec{O P^{'}}$ 的位置，设 $∠ x O P = α$ ．

(1)、求 $\frac{\cos (\frac{π}{4} - α)}{\cos 2 α}$ 的值；

(2)、求点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ 的坐标．

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15、如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点， $\vec{A E} = \frac{2}{3} \vec{A D}, \vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ ．

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{A E}, \vec{B E}$ ；

(2)、求证：B，E，F三点共线．

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16、已知 $\sin (α - \frac{π}{6}) + \cos α = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (2 α + \frac{π}{3}) =$ ．

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17、在人工智能领域，尤其是在自然语言处理任务中，词向量是一种将词语表示为实数向量的技术．这些向量能够捕捉词语之间的语义关系，例如通过计算向量之间的余弦相似度 $\cos θ = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$ 来衡量词语的相似性．假设我们有一个简化的词向量空间，其中每个词被表示为一个二维向量，已知三个词 $A, B, C$ ，词 $A$ 的向量 $\vec{a} = (3, 4)$ ，词B的向量 $\vec{b} = (- 2, 5)$ ，词 $C$ 的向量 $\vec{c} = (1, - 1)$ ，如果词 $A$ 代表“快乐”，推测词 $B$ 和词 $C$ 中（填 $B$ 或 $C$ ）可能代表与“快乐”相似的词语类型．

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18、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\sin A > \sin B$ ，则 $A > B$ B、若 $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形 C、若 $a \cos A = b \cos B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 D、若 $b = 2$ ， $A = 30 °$ 的三角形有两解，则 $a$ 的取值范围为 $(0, 2)$

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19、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, π < φ < 2 π)$ 的部分图象如图所示，其图象上最高点的纵坐标为2，且图象经过点 $(0, - 1), (\frac{π}{3}, 1)$ ，则（）

A、 $φ = \frac{11 π}{6}$ B、 $ω = 3$ C、将 $f (x)$ 图象向右平移 $\frac{2 π}{9}$ 个单位后图象关于y轴对称． D、方程 $f (x) = a (- 2 < a < - 1)$ 在 $[0, π]$ 内恰有4个互不相等的实根

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20、已知平面向量 $\vec{a} = (3, 4), \vec{b} = (7, 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} = (10, 5)$ B、 $| \vec{b} | = 10 | \vec{a} ∣$ C、 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $45 °$

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