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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ .请在以下三个条件中任选一个进行解答（若选多个条件分别解答，则按第一个解答过程给分）：
① $a (tan A + tan B) = 2 c tan A$ ；② $b sin A = a cos (B - \frac{π}{6})$ ；③ $(a - c) sin B = b sin (B - C)$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = \sqrt{3}$ ， $cos A cos C = - \frac{1}{4}$ ，
（ⅰ）求 $△ A B C$ 的面积；
（ⅱ）若 $D$ ， $E$ 为 $A C$ 边上的两点，且 $B D$ 为 $∠ A B C$ 的角平分线， $B E$ 为 $A C$ 边上的中线，求 $\frac{B D}{B E}$ 的值.

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2、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $P A$ 垂直于 $⊙ O$ 所在的平面， $C$ 是圆周上不同于 $A$ ， $B$ 的任意一点.

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $∠ P B A = 45 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ，求二面角 $A - P B - C$ 的余弦值.

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3、已知单位向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 的夹角为 $θ$ .

(1)、若 $θ = \frac{π}{3}$ ，求 $\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 在 $\vec{e_{1}}$ 上的投影向量（结果用 $\vec{e_{1}}$ 表示）；

(2)、若 $|λ \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}| \geq 1$ 对 $\forall λ \in R$ 恒成立，求 $θ$ 的取值范围.

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4、某中学高一年级1000名学生中，男生有600名，女生有400名.为调查该校高一年级学生每天的课后学习时间，按照性别进行分层，并通过比例分配的分层随机抽样从中抽取一个容量为200的样本进行调查，得到如图1（男生）、图2（女生）所示的频率分布直方图.

(1)、求抽取的200名学生中每天的课后学习时间落在区间 $[2.5, 3.5)$ 的男生人数；

(2)、估计该中学高一年级全体学生每天的平均课后学习时间（注：同一组数据用区间中点值作代表）.

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5、设实系数一元二次方程 $a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0 (a_{2} \neq 0)$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则原方程可以变形为 $a_{2} (x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0$ ，展开得 $a_{2} x^{2} - a_{2} (x_{1} + x_{2}) x + a_{2} x_{1} x_{2} = 0$ ，由此，我们可以得到 $x_{1} + x_{2} = - \frac{a_{1}}{a_{2}}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{a_{0}}{a_{2}}$ .类比上述方法，如果实系数一元三次方程 $a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0 (a_{3} \neq 0)$ 有三个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，我们也可以得到类似的结论.已知关于 $x$ 的方程 $x^{3} - \frac{3}{4} x + c = 0$ $(c \in R)$ 有三个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $x_{1} + x_{2} x_{3}$ 的取值范围为.

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6、已知正实数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{a}{b}$ 的最小值为.

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7、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = lg x$ ，则 $f (5) - f (- 2) =$ .

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8、棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 是线段 $A_{1} B$ 上的动点（包括端点），则（）

A、三棱锥 $D_{1} - P C D$ 的体积为定值 B、点 $P$ 到平面 $A B C D$ 的距离与点 $P$ 到点 $D_{1}$ 的距离之和的最小值为 $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、当点 $P$ 与点 $A_{1}$ 重合时，四面体 $P B C_{1} D$ 的外接球的表面积为 $4 π$ D、 $∠ A P D$ 的正切值的取值范围是 $[1, \sqrt{2}]$

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9、已知函数 $f (x) = \frac{cos x}{2 + sin x}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x + \frac{π}{2})$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 是周期函数 D、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上是减函数

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10、已知复数 $z_{1} = 1 + i$ ， $z_{2} = 1 - i$ ，且 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 在复平面内对应的点分别为 $Z_{1}$ ， $Z_{2}$ ，则（）

A、 $|z_{1}| = |z_{2}|$ B、 $Z_{1}$ ， $Z_{2}$ 关于原点对称 C、 $z_{1} z_{2} = z_{1} - z_{2}$ D、 $\frac{z_{1}}{z_{2}} + \frac{z_{2}}{z_{1}} = 0$

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11、已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) = f (x)$ ，记 $I_{k} = [2 k - 1, 2 k + 1]$ ， $k \in Z$ .当 $x \in I_{0}$ 时， $f (x) = x^{2}$ .记 $M_{k} = {a|$ 关于 $x$ 的方程 $f (x) = {log}_{a} (x - k)$ 在 $I_{k}$ 上有两个不相等的实数根 $}$ ，则 $M_{3} =$ （）

A、 $(1, 2]$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $(1, 4]$ D、 $[4, + \infty)$

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12、已知四棱锥 $S - A B C D$ 的底面是矩形， $S A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，若直线 $S C$ 与平面 $A B C D$ ，平面 $S A B$ 和平面 $S A D$ 所成的角分别为 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，则（）

A、 $cos α + cos β + cos γ = \sqrt{2}$ B、 ${cos}^{2} α + {cos}^{2} β + {cos}^{2} γ = 1$ C、 $sin α + sin β + sin γ = \sqrt{2}$ D、 ${sin}^{2} α + {sin}^{2} β + {sin}^{2} γ = 1$

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13、已知 $3 sin x + 4 cos x = A sin (x + θ)$ 对于 $\forall x \in R$ 恒成立，则 $sin 2 θ =$ （）

A、 $\frac{12}{25}$ B、 $\frac{24}{25}$ C、 $- \frac{12}{25}$ D、 $- \frac{24}{25}$

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14、某街区的交通道路如图1实线所示，从 $A$ 处出发，沿道路以最短路径到达 $B$ 处，则选择如图2实线所示的道路到达 $B$ 处的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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15、已知函数 $f (x) = cos (x + φ) (0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则将该函数图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后得到的函数为（）

A、 $y = cos (x + \frac{π}{6})$ B、 $y = cos (x - \frac{π}{6})$ C、 $y = cos (x + \frac{π}{3})$ D、 $y = cos (x - \frac{π}{3})$

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16、已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，则“ $0 < a < \frac{1}{2}$ ”是“ $a^{a} > \sqrt{a}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, - 4)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则实数 $x =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、8 D、 $- 8$

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18、已知集合 $A = \{x |x (x - 1) = 0\}$ ， $B = \{1, 2, 3\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{1\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3\}$

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19、把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法有种．

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20、我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，对于二元函数 $z = f (x, y)$ ，若存在正数m， $n (m \neq n)$ 满足 $f (m, n) = f (n, m)$ ， $f (m, n) + f (n, m) > 2 f (1, 1)$ ，则称 $f (x, y)$ 具有性质T．已知二元函数 $f (x, y) = x + \ln y$ ．

(1)、若 $f (- x, x) \leq a$ 恒成立，求a的取值范围．

(2)、已知正数m， $n (m \neq n)$ 满足 $f (m, n) = f (n, m)$ ．
（ⅰ）证明： $m n < 1$ ．
（ⅱ）证明： $f (x, y)$ 具有性质T．

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