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相关试卷

1、已知等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B = 2, D C = 3, ∠ A D C = 60 °$ ， $E, F$ 是线段 $D C$ 的两个三等分点（ $E$ 在 $F$ 的左侧）， $M$ 是线段 $A F$ 上靠近 $A$ 的三等分点（如图①．将 $△ D A E$ 沿 $A E$ 翻折到 $△ P A E$ 的位置，连结 $P B, P C$ 得到四棱锥 $P - A B C E$ （如图②）．

(1)、求证： $A E ⊥ P M$ ；

(2)、当 $P M ⊥ A F$ 时，
①求平面 $P A E$ 与平面 $A B C E$ 所成二面角的余弦值；
②求直线 $P C$ 与平面 $P A E$ 所成角的正弦值．

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2、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a sin B = \sqrt{3} b sin \frac{A}{2}, b = 4$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $cos B = \frac{2 \sqrt{7}}{7}, D$ 是线段 $B C$ 的中点，求线段 $A D$ 的长．

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3、如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $M$ 是线段 $B C$ 的中点．

(1)、求证： $D_{1} C / /$ 平面 $D B_{1} M$ ；

(2)、若 $B C ⊥ B D$ ，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $D B B_{1} D_{1}$ ， $A_{1} D_{1} ⊥$ 平面 $D B B_{1} D_{1}$ ，求证： $A_{1}, B, C, D_{1}$ 四点共面．

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4、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $(3 \vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 9$ ，向量 $\vec{c} = t \vec{a} + (2 - t) \vec{b}$ 满足 $\vec{c} ⊥ \vec{b}$ ．

(1)、求实数 $t$ 的值；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角．

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5、富比尼原理，又称为“算两次”思想，即对待同一个量，从不同的角度去考虑，以此建立等量关系或不等关系，从而达到解决问题的目的．如图，在边长为2的正九边形 $A B C D E F G H I$ 中， $\vec{A E} \cdot \vec{A I}$ 的值为；由向量关系 $\vec{A E} = \vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D E}$ ，可得 $\vec{A E} \cdot \vec{A I} = (\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D E}) \cdot \vec{A I}$ ，进而得 $cos \frac{7 π}{9} + cos \frac{5 π}{9} + cos \frac{3 π}{9} + cos \frac{π}{9}$ 的值为．

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6、已知 $\sin (α + 60 °) = \frac{2}{3}, 30 ° < α < 120 °$ ，则 $cos α$ 的值为．

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7、设i为虚数单位，若复数 $z = (m^{2} - 4) + (m^{2} - 2 m) i$ 是纯虚数，则实数 $m$ 的值为．

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8、已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图的面积为 $4 \sqrt{3} π$ ，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 在该圆锥内，其中 $A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$ 在圆锥的侧面上， $A, B, C, D$ 在圆锥的底面上，则下列说法正确的有（）

A、该圆锥的高为 $2 \sqrt{2}$ B、该圆锥可以整体放入直径为 $\sqrt{17}$ 的球内 C、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $\sqrt{2}$ D、以该圆锥的顶点为球心作半径为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ 的球，则球面与正方体的底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 相交所得曲线的长度之和为 $\frac{2 \sqrt{6}}{9} π$

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9、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < π)$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（）

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{3}$ 对称 C、不等式 $f (x) \geq 1$ 的解集为 $\{x |k π - \frac{π}{12} \leq x \leq k π + \frac{π}{4}, k \in Z\}$ D、 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到函数 $y = 2 cos 2 x$ 的图象

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10、在复平面内，已知复数 $2 + 5 i$ 和 $5 + i$ 对应的向量分别是 $\vec{O A}$ 和 $\vec{O B}$ （其中 $O$ 是坐标原点，i为虚数单位），向量 $\vec{A B}$ 对应的复数是 $z_{1}$ ，若复数 $z$ 满足 $|z| = 2$ ，则 $|z - z_{1}|$ 的可能取值有（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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11、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $M, N$ 分别是棱 $C_{1} D_{1}, A A_{1}$ 的中点，平面 $α$ 经过 $B A_{1}$ 和 $M$ ，平面 $β$ 经过 $C D_{1}$ 和 $N$ ，则该正方体处于平面 $α, β$ 之间部分的体积为（）

A、 $\frac{10}{3}$ B、4 C、 $\frac{17}{3}$ D、 $\frac{10 \sqrt{3}}{3}$

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12、若函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{4}]$ 上单调递增，则实数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{2}{3}]$ B、 $(0, \frac{4}{3}]$ C、 $(0, \frac{5}{3}]$ D、 $[\frac{2}{3}, \frac{5}{3}]$

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13、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $M, N$ 分别是边 $A C, B C$ 的中点， $A N$ 与 $B M$ 相交于点 $G$ ，设 $\vec{A N} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{B G} =$ （）

A、 $\frac{4}{3} \vec{b} - \vec{a}$ B、 $\vec{a} - \frac{4}{3} \vec{b}$ C、 $\frac{4}{3} \vec{a} - \vec{b}$ D、 $\vec{b} - \frac{4}{3} \vec{a}$

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14、如图，按斜二测画法所得水平放置的 $△ O A B$ 的直观图为 $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ ，若 $O A = \sqrt{2}, O B = 3$ ，则 $A^{'} B^{'} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{11}}{2}$ D、 $\sqrt{11}$

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15、计算 $\frac{1 - \tan 15 °}{1 + \tan 15 °} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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16、已知 $m, n$ 是两条不重合的直线， $α, β$ 是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $m / / α, n \subset α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m ⊥ n, m ⊥ α$ ，则 $n / / α$ C、若 $α / / β, m \subset α$ ，则 $m / / β$ D、若 $α ⊥ β, m ⊥ β$ ，则 $m / / α$

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17、设i为虚数单位，若复数 $z$ 满足 $\frac{4}{z} = 1 + i$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $2 - 2 i$ B、 $2 + 2 i$ C、 $2 - i$ D、 $2 + i$

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18、已知向量 $\vec{a} = (2, 1)$ 与 $\vec{b} = (- 3, y)$ 共线，则实数 $y =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、6 D、 $- 6$

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19、已知 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β, γ$ 是三个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A、若 $m$ $/ /$ $n, m$ $/ /$ $α$ ，则 $n$ $/ /$ $α$ B、若 $α$ $/ /$ $β, m \subset α, n \subset β$ ，则 $m$ $/ /$ $n$ C、若 $α ⊥ β, β ⊥ γ$ ，则 $α$ $/ /$ $γ$ D、若 $m$ $/ /$ $n, α$ $/ /$ $β, m ⊥ α$ ，则 $n ⊥ β$

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20、若随机变量 $X ~ N (1, σ^{2}), 2 P (X < 0) = P (X \leq 2) = m$ ，则 $m =$ ．

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