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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = e^{x - 1} - \frac{n}{x}$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、证明： $f (x)$ 有唯一零点；

(2)、记 $f (x)$ 的零点为 $a_{n}$ ．
（i）数列 $\{a_{n}\}$ 中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由；
（ii）证明： $2 (\sqrt{n + 1} - 1) < \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{a_{i}} \leq \frac{n + 1 + ln n}{2}$ ．

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2、某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为 $200$ ，每局比赛，棋手胜加 $100$ 分；平局不得分；棋手负减 $100$ 分．当棋手总分为 $0$ 时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为 $300$ 时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{2}$ ，且各局比赛相互独立.

(1)、求两局后比赛终止的概率；

(2)、在 $3$ 局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率；

(3)、在挑战过程中，棋手每胜 $1$ 局，获奖 $5$ 千元．记 $n (n \geq 10)$ 局后比赛终止且棋手获奖 $1$ 万元的概率为 $P (n)$ ，求 $P (n)$ 的最大值．

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3、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P B = P C$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点，平面 $P A D ⊥$ 平面 $P B C$ ．

(1)、证明： $A B = A C$ ；

(2)、若 $A B ⊥ A C$ ， $A B = 2$ ， $P A = P D = 1$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P A C$ 的夹角的正弦值．

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4、设函数 $f (x) = (x - a) (x - b) (x - c)$ ，其中 $a < b < c$ ．若 $f (1 + x) f (2 - x) \leq 0$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立，则 $a + b + c =$ ．

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5、已知 $sin 2 α = 2 sin 2 β$ ， $cos 2 α = 4 {sin}^{2} β$ ，则 $cos (2 α + β) =$ ．

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6、已知点 $A$ 在直线 $x - y + 1 = 0$ 上， $\vec{A B} = (2, 0)$ ，则原点 $O$ 与 $B$ 的最短距离为．

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7、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，定义： ${‖A B‖}_{n} = {({|x_{1} - x_{2}|}^{n} + {|y_{1} - y_{2}|}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ ．若 $s, t \in N^{*}$ ，且 $s < t$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $A, B$ 关于x轴对称，则 ${‖A B‖}_{s} = {‖A B‖}_{t}$ B、若 $A, B$ 关于直线 $y = x$ 对称，则 ${‖A B‖}_{s} \geq {‖A B‖}_{t}$ C、若 ${‖O A‖}_{s} = 2 {‖O B‖}_{s}$ ，则 ${‖O A‖}_{t} = 2 {‖O B‖}_{t}$ D、若 $P = \{M |{||A M||}_{s} \leq 1\}$ ， $Q = \{M {|||A M||}_{t} \leq 1\}$ ，则 $P \subseteq Q$

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8、已知函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ， $f (x) \geq g (x)$ （当且仅当 $x = 0$ 时，等号成立），则下列结论可能正确的是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $f (x) \geq f (0)$ ，且 $g (x) \leq g (0)$ B、 $\forall x \in R$ ， $f (x) \geq f (0)$ ，且 $g (x) \geq g (0)$ C、 $\forall x_{1} \in R$ ， $f (x_{1}) \leq f (0)$ ，且 $\exists x_{2} \in R$ ， $g (x_{2}) > g (0)$ D、 $\exists x_{1} \in R$ ， $f (x_{1}) < f (0)$ ，且 $\exists x_{2} \in R$ ， $g (x_{2}) > g (0)$

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9、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{ln x}{x}, x \geq 2 \\ k x, x < 2 \end{array}$ 有最大值，则 $k$ 的最大值为（）

A、 $\frac{ln 2}{4}$ B、 $\frac{ln 2}{2}$ C、 $\frac{1}{2 e}$ D、 $\frac{1}{e^{2}}$

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10、已知4个不全相等的正整数的平均数与中位数都是2，则这组数据的极差为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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11、已知 $z = \frac{1 - i}{1 + i}$ ，则 $|\bar{z}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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12、在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的n个小球，将它们分别编号为 $1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n$ ．每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后放回，直至取遍所有小球后立刻停止摸球．记总的摸球次数为 $X_{n}$ ，其期望为 $E (X_{n})$ ．

(1)、求 $P (X_{2} = 4)$ 与 $P (X_{3} = 5)$ ；

(2)、求 $E (X_{2})$ ；

(3)、证明： $E (X_{n}) > n \ln (n + 1)$ ．
附：①若随机变量 $X$ 的可能取值为 $1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n, \cdot \cdot \cdot$ ，则 $E (X) = \sum_{i = 1}^{+ \infty} (k \cdot P (X = k)) = \lim_{n \to + \infty} \sum_{i = 1}^{n} (k \cdot P (X = k))$
②若随机变量 $X = \sum_{i = 1}^{n} ξ_{i}$ ，则 $E (X) = \sum_{i = 1}^{n} E (ξ_{i})$ ．

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13、如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长均为2，且 $B D = 2$ ， $\cos ∠ A_{1} A B = \cos ∠ A_{1} A D = \frac{3}{4}$ ， $E$ 是 $A_{1} C_{1}$ 中点．

(1)、求证：平面 $A_{1} B D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $A_{1} - B C - E$ 的余弦值．

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14、已知 $A (4, 0)$ 和 $P (2, \sqrt{2})$ ，直线 $A P$ 与椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 切于点 $P$ .

(1)、求 $C$ 的离心率；

(2)、若过 $P$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于另一点 $B$ ，且 $△ A B P$ 的面积为 $4 \sqrt{2}$ ，求 $l$ 的方程.

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15、在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，其外接圆半径为 $R$ ，内切圆半径为 $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，满足 $a \cos A + b \cos B + c \cos C = \frac{3 \sqrt{3} R}{2}$ ， $△ A B C$ 的面积 $S_{△ A B C} = \frac{9 \sqrt{3}}{4}$ ，则（）

A、 $a + b + c = 9$ B、 $\sin 2 A + \sin 2 B + \sin 2 C = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\sin A + \sin B + \sin C = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $R = \sqrt{3}$

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16、已知向量 $\vec{a} = (1, 0)$ ， $\vec{b} = (1, - 1)$ ，若 $(k \vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $k =$ （）

A、1 B、2 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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17、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列说法正确的有（）

A、 $A_{1} C_{1} / /$ 平面 $A C D_{1}$ B、 $B_{1} D ⊥$ 平面 $A C D_{1}$ C、点 $D$ 到平面 $A C D_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $A B$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成的角为 $30 °$

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18、九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件 $A = “ a + b \geq 9$ ”，则 $P (A)$ 的值为.
$a$
$d$
$f$
$b$
5
$g$
$c$
$e$
$h$

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19、三余弦定理是空间角的重要结论之一，如图1：设点 $D$ 为平面 $α$ 外一点，过 $D$ 点的斜线在平面 $α$ 上的射影为 $O E, O F$ 为平面 $α$ 上的任意直线，则 $\cos ∠ D O F = \cos ∠ D O E \cdot \cos ∠ E O F$ .

(1)、证明以上三余弦定理；

(2)、如图2，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A_{1} A = 2, ∠ B A D = 60^{\circ}$ ， $∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = θ$ .
①证明：平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A B C D$ ；
②若直线 $A_{1} A$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求点 $C_{1}$ 到平面 $B A A_{1}$ 的距离.

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20、某校组织高一年级800名学生数学竞赛，从中随机抽取了100名学生竞赛成绩进行适当分组，得到如下频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、估计这100名学生的平均分（样本的平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似估计）；

(3)、若要从这800人中淘汰728人进入下一轮复赛，根据样本频率分布直方图估计进入复赛最低分数线.

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