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相关试卷

1、已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布 $N (220, 20^{2})$ ．其电压通常有3种状态：①不超过200V；②在200V~240V之间③超过240V．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2．

(1)、求该机器生产的零件为不合格品的概率；

(2)、从该机器生产的零件中随机抽取n（ $n \geq 2$ ）件，记其中恰有2件不合格品的概率为 $p_{n}$ ，求 $p_{n}$ 取得最大值时n的值．
附：若 $Z ~ N (μ, σ^{2})$ ，取 $P (μ - σ < Z < μ + σ) = 0.68$ ， $P (μ - 2 σ < Z < μ + 2 σ) = 0.95$ ．

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $P A D$ ， E为 $P A$ 中点， $P D = A D = 2$ .

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求直线 $D E$ 与平面 $P B C$ 所成角的大小.

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3、设抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率为 $k (k > 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $|A B| = 8$ ．

(1)、求 $l$ 的方程；

(2)、求过点 $A$ ， $B$ 且与 $C$ 的准线相切的圆的方程．

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4、已知存在 $a > 0$ ，使得函数 $f (x) = a \ln x$ 与 $g (x) = x^{2} - 3 x - b$ 的图象存在相同的切线，且切线的斜率为1，则b的最大值为.

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5、某不透明纸箱中共有6个小球，其中2个白球，4个红球，它们除颜色外均相同.一次性从纸箱中摸出3个小球，记摸出红球个数为 $X$ ，则 $P (X = 2) =$ .

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6、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $2 a_{5} = a_{4} + 6$ ，则 $a_{6} =$ ．

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7、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为线段 $A_{1} B_{1}$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{C_{1} D} = \vec{B A} - \vec{C C_{1}}$ B、三棱锥 $B_{1} - A E C_{1}$ 的体积为 $\frac{2}{3}$ C、点B到直线 $A C_{1}$ 的距离为 $\frac{2}{3} \sqrt{6}$ D、平面 $A E C_{1}$ 截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的截面的面积为5

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8、设函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + x$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则（）

A、 $f^{'} (1) = 0$ B、 $x = 1$ 是函数 $f (x)$ 的极值点 C、 $f (x)$ 存在两个零点 D、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增

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9、对于 ${(x - 3)}^{5}$ 的展开式，下列说法正确的是（）

A、展开式共有6项 B、展开式的各项系数之和为 $- 32$ C、展开式的第2项是 $90 x^{3}$ D、展开式的各二项式系数之和为32

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10、已知 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x) (x \in R)$ 的导数，且 $\forall x \in R, f^{'} (x) > 2, f (2) = 3$ ，则不等式 $f (x) > 2 x - 1$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(- \infty, 3)$ D、 $(3, + \infty)$

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11、下列说法正确的是（）

A、根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到 $χ^{2} = 4.712$ ，根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验（ $x_{0.05} = 3.841$ ），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 B、若随机变量ξ，η满足 $η = 3 ξ - 2$ ，则 $D (η) = 3 D (ξ) - 2$ C、“事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的充分不必要条件 D、若随机变量X服从两点分布， $D (X) = \frac{1}{9}$ ，则 $P (X = 1) = \frac{2}{3}$

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12、同时拋掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，记事件 $A =$ “甲骰子正面向上的点数大于3”，事件 $B =$ “甲、乙骰子正面向上的点数之和为6”，则 $P (A | B) =$ （）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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13、从4位男同学、5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有（）

A、140种 B、44种 C、70种 D、252种

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14、某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表所示：
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为 $y = 0.7 x + \hat{a}$ ，则 $\hat{a} =$ （）

A、0.25 B、0.3 C、0.35 D、0.4

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15、设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 2$ 处的切线方程为 $y = 10 x - 16$ ，则 $f^{'} (2) + f (2) =$ （）

A、 $- 14$ B、 $- 6$ C、6 D、14

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16、某运动物体的位移s（单位：米）关于时间t（单位：秒）的函数关系式为 $s = 4 t^{2}$ ，则该物体在 $t = 1$ 秒时的瞬时速度为（）米/秒

A、10 B、8 C、6 D、4

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17、如图，在棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中.

(1)、求二面角 $B_{1} - A_{1} C_{1} - B$ 的正切值；

(2)、若 $B_{1} D$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 交于点E，求线段BE的长；

(3)、若点P是平面 $A_{1} B C_{1}$ 内一个动点，且 $|P D| + |P B_{1}| = 4 + \sqrt{7}$ ，求直线 $B_{1} P$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 所成角的正弦值.

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18、在学校数学活动周中，高一年级举办了数学答题比赛.题目选自模块1或模块2.已知在模块1的比赛中，选手甲、乙答对的概率分别为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{2}{3}$ 在模块2的比赛中，选手甲、乙答对的概率分别为p和q.假设甲、乙两人在每个模块中答对与否互不影响.每个人在各模块中的结果也互不影响.

(1)、若在正式比赛前，甲、乙作为代表参加模块1的循环答题热身赛.参赛者依次轮流答题，若答对则该选手获1枚印章，若答错则对手获1枚印章.连续获两枚印章的选手最终获胜.甲回答第1题，乙回答第2题，依次轮流答题.求到第4个问题甲获胜的概率.

(2)、在正式比赛中，每个选手均要参加两个模块的比赛，每个模块回答一个问题，答对者获1枚印章，答错没有印章.
（ⅰ）若 $p = \frac{3}{4}$ ， $q = \frac{2}{3}$ ，求甲、乙共获得3枚印章的概率；
（ⅱ）若甲没有获得印章，乙获得1枚印章的概率为 $\frac{1}{12}$ ，两人都获得两枚印章的概率为 $\frac{3}{20}$ .求甲、乙至少有1人获得印章的概率.

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19、已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边， $B = \frac{π}{3}$ ， AC边上的高等于 $\frac{\sqrt{3}}{2} A C$ .

(1)、求 $\cos A \cos C$ 的值；

(2)、若 $A B = 2$ ，求△ABC的面积.

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20、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的侧面 $P A D$ 是正三角形，底面 $A B C D$ 是正方形，且侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D = 4$ ， E为侧棱 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $P B / /$ 平面 $E A C$ ；

(2)、求三棱锥 $A - P D C$ 的体积.

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x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5