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相关试卷

1、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且经过点 $(1, \frac{3}{2})$ ，点F为椭圆E的右焦点．

(1)、求椭圆E的标准方程；

(2)、过点 $M (4, 0)$ 作直线l交椭圆E于A，B两点，O为坐标原点．
①若 $\vec{O B} = \frac{3}{4} \vec{O A} + \frac{1}{4} \vec{O M}$ ，求直线l的斜率；
②若过点A作直线 $x = 1$ 的垂线，垂足为Q，点N为线段 $F M$ 的中点，求证：B，Q，N三点共线．

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2、某电商平台促销盲盒商品，盲盒的外层包装分A、B两种类型．外层包装为A型的概率为 $\frac{4}{5}$ ，每个A型盲盒中含限量版商品的概率为 $\frac{2}{5}$ ；外层包装为B型的概率为 $\frac{1}{5}$ ，每个B型盲盒中含限量版商品的概率为 $\frac{9}{10}$ ．小王一次性随机购买5个盲盒（假设各盲盒包装类型及所含商品相互独立）

(1)、求每个盲盒含限量版商品的概率；

(2)、设随机变量X为小王抽中含限量版商品的盲盒数量，求X的概率分布；

(3)、若抽中的某个盲盒含限量版商品，求该盲盒外层包装为A型的概率．

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3、如图，已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $4 \sqrt{3}$ ，且 $A B = 2$ ，点E，F，G分别为棱 $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ 的中点．

(1)、求证：平面 $A F C / /$ 平面 $E B_{1} G$ ；

(2)、求锐二面角 $B - A C - B_{1}$ 的余弦值．

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4、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{2} + S_{3} = 12$ ， $a_{5} = 9$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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5、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， $A B = 1$ ， $A D = A A_{1} = 2$ ，则异面直线 $B D_{1}$ 与 $C C_{1}$ 所成角的余弦值为．

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6、已知函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{e^{x}}$ ，则 $f (x)$ 的最大值为

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7、甲、乙等6人排成一排照相，其中甲、乙两人不相邻的排法数为．（用数字表示）

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8、若随机事件A，B满足 $P (B) = P (B| A) = P (A| \bar{B}) = \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $P (A) = \frac{2}{3}$ B、 $P (A \bar{B}) = \frac{2}{9}$ C、 $P (A + B) = \frac{5}{9}$ D、 $P (\bar{B}| A) = \frac{2}{3}$

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9、若点 $P (m, 2 \sqrt{2})$ 是抛物线 $C : y^{2} = - 4 x$ 上一点，F为抛物线C的焦点，连 $P F$ 交抛物线C于另一点Q，则（）

A、 $m = - 2$ B、 $| P F | = 3$ C、 $O P ⊥ O Q$ （O为坐标原点） D、 $| P F | = 2 | Q F |$

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10、已知 ${(2 + x)}^{n}$ 的展开式中常数项为32，则（）

A、 $n = 5$ B、二项式系数和为64 C、含 $x^{3}$ 的项的系数为80 D、所有项的系数和为243

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11、已知直线 $l$ 为曲线 $f (x) = e^{x} - 1$ 与 $g (x) = \ln x + 1$ 的公共切线，则直线 $l$ 的方程可以为（）

A、 $y = x - 1$ B、 $y = x + 1$ C、 $y = e x - 1$ D、 $y = e x + 1$

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12、双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为2，其中一条渐近线与圆 $E : {(x - 2)}^{2} + {(y + \sqrt{3})}^{2} = 4$ 相交于A，B两点，则 $|A B| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ C、 $\sqrt{15}$ D、 $\sqrt{13}$

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13、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}}$ ，则 $a_{12} =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、3

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14、已知变量x，y的取值如下表所示，若y与x线性相关，且线性回归方程为 $\hat{y} = 10.5 x + \hat{a}$ ，则 $\hat{a}$ 等于
x
2
4
5
6
8
y
20
40
60
70
80

A、0.5 B、1.5 C、2 D、2.5

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15、已知随机变量 $X \sim N (1, σ^{2})$ ，若 $P (X > 2) = 0.2$ ，则 $P (0 < X < 1) =$ （）

A、0.1 B、0.2 C、0.3 D、0.4

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16、向量 $\vec{a} = (1, 0, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, 0, m)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则实数m的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、 $- 2$

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17、样本数据2，4，5，6，8的中位数为（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $5$ C、 $\frac{11}{2}$ D、 $6$

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18、已知函数 $f (x) = a \ln x - \frac{1}{x}$ ，直线l是曲线 $y = f (x)$ 在点 $(t, f (t))$ 处的切线．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若存在直线l经过点 $(0, 0)$ ，求实数a的取值范围．

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19、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面PBC，平面 $P A B ⊥$ 平面ABC．

(1)、证明： $B C ⊥ A B$ ；

(2)、若 $A P = B C = \sqrt{6}$ ， PC与平面PAB所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求平面PAC与平面ABC夹角的正弦值．

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20、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\sqrt{3} b \sin \frac{B + C}{2} = a \sin B$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、已知 $a = 7$ ， D是BC边的中点，且 $A D ⊥ A C$ ，求AD的长．

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