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相关试卷

1、甲、乙两名运动员将参加体育考核．考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试．已知6个项目中，有4个是甲擅长的，必定通过测试，另有2个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p，且各次测试相互独立．在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X、Y．

(1)、若 $p = \frac{2}{3}$ ，分别写出随机变量X和Y的概率分布，并求它们的数学期望；

(2)、规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”．
（i）当运动员甲考核“达标”时，求运动员甲考核“优秀”的概率；
（ii）已知 $p = p_{1}$ 时，两位运动员考核“达标”的概率相等， $p = p_{2}$ 时，两位运动员考核“优秀”的概率相等．求证： $p_{2} < \frac{2}{3} < p_{1}$ ．

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $∠ A D C = 90 °$ ， $A D ∥ B C$ ， $P A = B C = 2$ ， $A D = C D = 1$ ， $E$ 为棱 $P D$ 上一点，且 $P E = 2 E D$ ．

(1)、求证： $P B / /$ 平面 $A C E$ ；

(2)、求二面角 $P - A C - E$ 的正弦值．

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3、为了解某小区居民的周末休闲方式是否与性别有关，随机抽取了该小区居民100 人进行了调查，其中女性60人，男性40人，女性中有40人休闲方式是看电视，另外20人休闲方式是运动；男性中有10人休闲方式是看电视，另外30人休闲方式是运动．

(1)、根据以上数据将如下2×2列联表补充完整；
合计
40
合计

(2)、请根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，判断休闲方式与性别是否有关．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$P (χ^{2} \geq x_{α})$
$0.050$
$0.010$
$0.001$
$x_{α}$
$3.841$
$6.635$
$10.828$

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4、已知集合 $A = \{x |\frac{x - 4}{x + 2} < 0\}$ ， $B = \{x |a - 2 \leq x \leq a + 2\}$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求 $A \cup B$ ；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

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5、类比排列数公式 $A_{n}^{r} = n (n - 1) (n - 2) \dots (n - r + 1)$ ，定义 $B_{x}^{n} = x (x - 1) (x - 2) \dots (x - n + 1)$ （其中 $n \in N^{*}$ ， $x \in R$ ），将右边展开并用符号 $f (n, k)$ 表示 $x^{k}$ （ $1 \leq k \leq n$ ， $k \in N^{*}$ ）的系数，得 $B_{x}^{n} = f (n, n) x^{n} + f (n, n - 1) x^{n - 1} + \dots + f (n, 1) x$ ，则：
（1） $f (5, 1) =$ ；（结果用数字表示）
（2）若 $f (n, r) = a$ ， $f (n, r - 1) = b$ （ $2 \leq r \leq n$ ， $r \in N^{*}$ ），则 $f (n + 1, r) =$ ．

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6、已知函数 $f (x) = m \sin x - \sin 2 x - 3 x$ 在区间 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上单调递减，则实数 $m$ 的取值范围是．

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7、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中， $A (4, 5, m)$ ， $B (1, 1, 6)$ ，若 $|\vec{A B}| = 5$ ，则实数 $m =$ ．

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8、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P在线段 $A_{1} D$ 上（含端点）运动，下列选项中正确的有（）

A、线段 $B_{1} P$ 长度的最大值是 $\sqrt{3}$ B、点P到平面 $A B_{1} C$ 的距离是定值 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、直线 $B_{1} P$ 与BD所成角的最小值是 $30 °$ D、直线 $B_{1} P$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值的取值范围是 $[\frac{1}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}]$

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9、已知 ${(1 - x)}^{2025} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2025} x^{2025}$ ，下列选项中正确的有（）

A、 $a_{1} = 2025$ B、 $a_{0}$ ， $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{2025}$ 中， $a_{1012}$ 最大 C、 $a_{0} + a_{1} + \dots + a_{2025} = 0$ D、 $|a_{0}| + |a_{1}| + \dots + |a_{2025}| = 2^{2024}$

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10、下列选项中正确的有（）

A、若随机变量 $X ~ 0 - 1$ 分布，则X的数学期望 $E (X) = P (X = 1)$ B、若随机变量 $X ~ B (2, 0.5)$ ，则X的方差 $D (X) = 1$ C、在线性回归分析中，相关系数r满足 $- 1 \leq r \leq 1$ D、在线性回归分析中，若相关系数r的绝对值越大，则两变量相关程度越强

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11、某所高中高一、高二、高三学生人数占全校总人数的比分别为 $36 %$ ， $34 %$ 和 $30 %$ ．在某次期中考试中，各年级数学成绩均近似服从正态分布：高一成绩 $X_{1} ~ N (80, 10^{2})$ ，高二成绩 $X_{2} ~ N (80, 10^{2})$ ，高三成绩 $X_{3} ~ N (85, 5^{2})$ ，现从全校学生中随机抽取一名学生，记其成绩为X，则 $P (80 \leq X \leq 90)$ 最接近的值是（）
参考数据：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (|X - μ| \leq σ) \approx 0.68$ ， $P (|X - μ| \leq 2 σ) \approx 0.95$ ．

A、 $0.44$ B、 $0.50$ C、 $0.56$ D、 $0.62$

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12、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B C_{1}$ 与 $B_{1} C$ 相交于点 $O$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A C = 60^{\circ}$ ， $∠ B A C = 90^{\circ}$ ， $A_{1} A = 2$ ， $A B = A C = 1$ ，则线段 $A O$ 的长度是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$

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13、已知变量x，y线性相关，其一组样本数据 $(x_{i}, y_{i})$ （ $i = 1$ ， 2，3，4，5），满足 $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} = 10$ ，用最小二乘法得到的线性回归方程是 $\hat{y} = x - 1$ ．现增加一个数据 $(2, 1)$ ，重新计算得到的回归直线斜率是 $1.1$ ， $x = 4$ 时，y的估计值是（）

A、3 B、 $3.2$ C、 $3.4$ D、 $3.6$

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14、函数 $f (x) = \frac{x + 1}{x}$ 在 $x = 1$ 处的瞬时变化率是（）

A、2 B、1 C、0 D、 $- 1$

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15、从4名男生、3名女生中选择3人组成一支志愿者小分队，要求男、女生都有，不同的组队方案共有（）

A、30种 B、34种 C、48种 D、60种

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16、函数 $f (x) = \sin x + \sin 2 x$ ， $x \in [- π, π]$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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17、已知随机变量X的概率分布如下
X
$- 1$
$- 0.5$
0
$1.8$
P
$0.1$
$0.3$
$0.1$
a
则 $a =$ （）

A、 $0.3$ B、 $0.4$ C、 $0.5$ D、 $0.6$

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18、已知集合 $U = \{x |x \leq 5, x \in N^{*}\}$ ， $M = \{1, 2\}$ ，则 $∁_{U} M =$ （）

A、 $\{3, 4\}$ B、 $\{3, 4, 5\}$ C、 $\{0, 3, 4\}$ D、 $\{0, 3, 4, 5\}$

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19、一质点的运动方程为 $s = 2 t^{2} + 3$ （s的单位：m，时间单位：s），则该质点在 $t = 3$ 时的瞬时速度为 $m / s$ .

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20、已知函数 $f (x) = a x^{2} - \ln x$

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a > 0$ 时，求证： $f (x) \geq 1 - \frac{1}{4 a}$ ；

(3)、若关于x的不等式 $f (x) \geq \sin x$ 恒成立，求整数a的最小值．

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$P (χ^{2} \geq x_{α})$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$x_{α}$	$3.841$	$6.635$	$10.828$

			合计
			40

合计

X	$- 1$	$- 0.5$	0	$1.8$
P	$0.1$	$0.3$	$0.1$	a