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相关试卷

1、已知集合 $A = {x ∣ 0 < x < a + 1}, B = \{x ∣ x^{2} - 3 x + 2 < 0\}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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2、“田忌赛马”我国历史上有名的“以弱胜强”的事例．齐王有 $n$ 匹马 $A_{1}, A_{2}, \dots A_{n}$ ，田忌有 $n$ 匹马 $B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n}$ ，且这 $2 n$ 匹马在比赛中的胜负可用如下不等式表示：
① $A_{n} > A_{n - 1} > \dots > A_{2} > A_{1}$ 且 $B_{n} > B_{n - 1} > \dots > B_{2} > B_{1}$ ；
② $\forall i \in Z$ 且 $2 \leq i \leq n, A_{1} > B_{i} > A_{i - 1} > B_{i - 1}$ ．
这里， $A > B$ 表示“ $A$ 马与 $B$ 马比赛， $A$ 马获胜”．一天，齐王找田忌赛马，约定：每局比赛双方各出一匹马，比赛过的马不能再次上场，共赛 $n$ 局，并记田忌在 $n$ 局比赛中获胜局数为 $X_{n}$ ．

(1)、求 $X_{3}$ 的分布列与期望；

(2)、分别求 $P (X_{n} = 0), P (X_{n} = 1)$ 的通项公式；

(3)、求证： $\forall n \in N^{*}, E (X_{n}) \geq \sqrt{n} - 1$ ．

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3、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}, F_{1}, F_{2}$ 为 $C$ 的左，右焦点， $M$ 为 $C$ 的右顶点， $P$ 为 $C$ 的上顶点，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 周长为 $4 + 2 \sqrt{2}$ ，直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $A M, B M$ 的斜率之积恒为 $- \frac{3}{2}$ ，求证：直线 $A B$ 恒过定点．

(3)、若直线 $l$ 恒过 $E (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, 0)$ ，则 $\frac{1}{| \vec{A E} |^{2}} + \frac{1}{| \vec{B E} |^{2}}$ 是否为定值？若成立，请求出该定值：若不成立，请说明理由．

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4、如图，已知 $A B$ 是圆的直径， $P A$ 垂直于圆所在的平面， $C$ 为圆上任意一点．

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $P A = 1, A B = \sqrt{2}$ ，二面角 $A - P B - C$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ，则是否存在点 $M, N$ 满足 $\vec{A M} = p \vec{A B}$ ， $\vec{C N} = q \vec{C P}$ ，使得 $M N ⊥ A B$ 且 $M N ⊥ C P$ ？若存在，求出 $p, q$ 的值；若不存在，请说明理由．

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5、在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别是角 $A, B, C$ 的对边，已知 $A$ 是锐角，且 $tan 2 A = - \sqrt{3}$ ．

(1)、若 $m b c = b^{2} + c^{2} - a^{2}$ ，求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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6、已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差不为 0 ， $S_{3} = 15$ ， $a_{1}, a_{4}, a_{13}$ 成等比数列.
（1）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（2）若数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = a_{n} + 2^{a_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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7、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右两个焦点，若双曲线上存在一点 $P$ 满足 $|\vec{P F_{1}}| = 3 |\vec{P F_{2}}|, |\vec{O P}| = \sqrt{2} a$ ，则该双曲线的离心率为．

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8、已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，且 $|\vec{a} - 2 \vec{b} |=| \vec{a}|$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为．

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9、用0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字的四位数，则共可组成个四位数．

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10、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ 且 $a \neq b$ ，若 $|ln a| = |ln b|$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a + b > 2$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{8}{a + b} \geq 4 \sqrt{2}$ C、 $\frac{b}{a} + \frac{16}{b} \geq 12$ D、 $\frac{8 a^{2} + b^{2}}{a^{2} + a b} \geq 5$

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11、已知事件 $A, B$ 发生的概率分别为 $P (A) = \frac{1}{2}, P (B) = \frac{1}{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $A$ 与 $B$ 互斥，则 $P (A \cup B) = \frac{2}{3}$ B、若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P (A \cup B) = \frac{2}{3}$ C、若 $P (A \bar{B}) = \frac{1}{3}$ ，则 $A$ 与 $B$ 相互独立 D、若 $P (A |B) = \frac{1}{4}$ ，则 $P (B |A) = \frac{3}{8}$

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12、已知函数 $f (x) = ln \frac{1 - x}{1 + x} - sin a x (a \in R)$ ，若 $f (x) > 0$ 当且仅当 $- 1 < x < 0$ ，则 $a$ 的最小值为（）

A、2 B、0 C、 $- 2$ D、 $- 3$

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13、长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 2 A D$ ，点 $E, F$ 分别是棱 $C D$ 和 $B B_{1}$ 的中点，点 $P$ 在侧面 $A D D_{1} A_{1}$ （包括边界）移动．若 $F E ⊥ E P$ ，则异面直线 $E P$ 与 $A B$ 所成角的余弦值的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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14、已知函数 $f (x) = a e^{x} + b (e = 2.718 \dots$ 为自然对数的底数， $a, b \in R$ ），若直线 $y = x + b$ 是 $f (x)$ 图象的切线，则 $a$ 的值为（）

A、 $e$ B、1 C、 $\frac{2}{e}$ D、 $\frac{1}{e}$

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15、有两个盒子，第一个盒子恰有1个红球，4个黄球，第二个盒子恰有2个红球，3个黄球．现从这两个盒子中等可能地选择一个盒子，然后从中任意摸出2个球，则这2个球都是黄球的概率为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{7}{15}$ C、 $\frac{9}{20}$ D、 $\frac{7}{10}$

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16、过抛物线 $x^{2} = \frac{1}{4} y$ 的焦点，且与直线 $2 x + y + 3 = 0$ 垂直的直线方程为（）

A、 $x - 2 y + 2 = 0$ B、 $8 x - 16 y + 1 = 0$ C、 $x - 2 y - 1 = 0$ D、 $16 x - 32 y - 1 = 0$

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17、若 $n$ 为一组从小到大排列的数1，2，3，5，7，8，11的第上四分位数，则二项式 ${(\sqrt[3]{x} + \frac{1}{2 x})}^{n}$ 的展开式的常数项是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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18、复数 $z_{1} = 3 + i, \bar{z_{2}} = 1 + i$ ，则复数 $z = \frac{z_{1}}{z_{2}}$ 在复平面内的对应点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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19、已知集合 $A = \{x ||x| < 3\}, B = \{x \in N |x^{2} < 16\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{1, 2\}$

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20、已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \log_{2} (\frac{1}{x} + a)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (2^{x}) > 1$ 的解集；

(2)、若 $a = 1$ ，当 $x \in [2, 3]$ 时， $F (x) = f (2^{x}) + \log_{2} (2^{x} + 1)$ ，求函数 $y = F (x)$ 的最小值；

(3)、当 $a \neq 3$ 且 $a \neq 4$ 时，关于x的方程 $f (x) - \log_{2} [(a - 4) x + 2 a - 5] = 0$ 的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围.

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