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相关试卷

1、已知一个扇形的周长为20，则当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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2、函数 $f (x) = a^{x} - a$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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3、十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 均为实数，且满足 $a < b$ ，那么下列选项中一定成立的是（）

A、 $a c < b c$ B、 $a c^{2} < b c^{2}$ C、 $a^{2} < b^{2}$ D、 $a - c < b - c$

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4、已知集合 $A = \{x \in Z ∣ x^{2} - 3 \leq 0\}, B = {1, 2}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[- 1, 2]$ B、 ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$ C、 $[0, 1]$ D、 ${- 1, 0, 1, 2}$

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5、设集合 $U = R$ ， $M = \{x |x > 1\}$ ， $N = \{x |- 1 < x < 2\}$ ，则 $\{x ∣ x \leq - 1\} =$ （）

A、 $∁_{U} (M \cap N)$ B、 $∁_{U} (M \cup N)$ C、 $M \cup (∁_{U} N)$ D、 $N \cup (∁_{U} M)$

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6、函数 $f (x) = tan (3 x - \frac{π}{3})$ 的图象的一个对称中心是（）

A、 $(- \frac{π}{9}, 0)$ B、 $(- \frac{π}{18}, 0)$ C、 $(\frac{2 π}{9}, 0)$ D、 $(\frac{π}{3}, 0)$

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7、对于定义域为 $I$ 的函数，如果存在区间 $[m, n] \subseteq I$ ，同时满足下列两个条件：
① $f (x)$ 在区间 $[m, n]$ 上是单调的；
②当定义域是 $[m, n]$ 时， $f (x)$ 的值域也是 $[m, n]$ ．则称 $[m, n]$ 是函数 $y = f (x)$ 的一个“黄金区间”．
（1）请证明：函数 $y = 1 - \frac{1}{x} (x > 0)$ 不存在“黄金区间”．
（2）已知函数 $y = x^{2} - 4 x + 6$ 在 $R$ 上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”．
（3）如果 $[m, n]$ 是函数 $y = \frac{(a^{2} + a) x - 1}{a^{2} x} (a \neq 0)$ 的一个“黄金区间”，请求出 $n - m$ 的最大值．

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8、如图，矩形 $A B C D$ 所在的平面垂直于平面 $A E B$ ， $O$ 为 $A B$ 的中点， $∠ A E B ＝ 90 °$ ， $∠ E A B = 30 °$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $A D = 3$ .
（1）求异面直线 $O C$ 与 $D E$ 所成角的余弦值；
（2）求二面角 $A - D E - C$ 的正弦值.

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9、已知圆 $E$ 经过点 $A (0, 0), B (1, 1)$ ，且圆 $E$ 与 $y$ 轴相切．

(1)、求圆 $E$ 的方程；

(2)、设 $P$ 是圆 $E$ 上的动点，点 $C$ 的坐标为 $(3, 2)$ ，求线段CP的中点 $M$ 的轨迹方程．

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10、直线 $x + y - 1 = 0$ 被圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y = 0$ 截得的弦长为．

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11、某校1000名学生在高一测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），则（）

A、 $a = 0.008$ B、约有200人的成绩不低于110分 C、约有60人的成绩低于70分 D、本次考试的平均分约为93.6分

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12、已知全集 $U = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ， $M = \{0, 1, 2\}$ ， $N = \{2, 3\}$ ，则 $(∁_{U} M) \cap N =$ （）

A、 $\{2, 3, 4\}$ B、 $\{3\}$ C、 $\{2\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3, 4\}$

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13、已知 $f (x) = \{\begin{matrix} (2 a - 1) x - 1, x < 1 \\ - x - 4 a, x \geq 1 \end{matrix}$ 是定义在 $R$ 上的单调函数，则a的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ B、 $[\frac{1}{6}, \frac{1}{3}]$ C、 $(\frac{1}{2}, 1]$ D、 $[\frac{1}{6}, \frac{1}{2})$

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14、已知幂函数 $f (x) = (p^{2} - 3 p + 3) x^{p^{2} - \frac{3}{2} p - \frac{1}{2}}$ 满足 $f (2) < f (4)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $h (x) = n - f (x + 3)$ ，是否存在实数 $a$ ， $b$ （ $a < b$ ），使函数 $h (x)$ 在 $[a, b]$ 上的值域为 $[a, b]$ ？若存在，求出实数 $n$ 的取值范围，若不存在，请说明理由．

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15、某公司为了节约资源，研发了一个从生活垃圾中提炼煤油的项目.该项目的月处理成本 $y$ （元）与月处理量 $x$ （吨）之间的函数关系可以近似地表示为： $y = \{\begin{array}{l} \frac{1}{3} x^{3} - 80 x^{2} + 5050 x, 120 \leq x < 150 \\ \frac{1}{2} x^{2} - 200 x + 80000, 150 \leq x < 500 \end{array}$ ，每处理一吨生活垃圾，可得到的煤油的价值为 200 元，若该项目不能获利，政府将给予补贴.

(1)、当 $x \in [200, 300]$ 时，判断该项目能否获利.如果获利，求出最大利润；如果不能获利，则政府每月最多需要补贴多少元，才能使该项目不亏损?

(2)、该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低?

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16、已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 1, 1]$ 上的偶函数，且 $x \in [- 1, 0]$ 时， $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ ．

(1)、求 $f (0)$ ， $f (- 1)$ ；

(2)、求函数 $f (x)$ 的表达式；

(3)、判断并证明函数在区间 $[0, 1]$ 上的单调性.

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17、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (1) = 3$ ，对任意两个不等的实数 $a$ ， $b$ 都有 $\frac{f (a) - f (b)}{a - b} > 1$ ，则不等式 $f (x^{2} - x - 1) < x^{2} - x + 1$ 的解集为．

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18、已知集合 $A= \{(x, y) | x^{2} + y^{2} \leq 3, x \in Z, y \in Z\}$ ，则集合A真子集个数为（填数字）

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19、下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）．

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ 与 $g (x) = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ B、 $f (x) = |x|$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ C、 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{|x|}{x}, x \neq 0 \\ 1, x = 0 \end{array}$ 与 $g (x) = \{\begin{array}{l} 1, x \geq 0 \\ - 1, x < 0 \end{array}$ D、 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{2 x - 1}$ 与 $g (t) = {(\frac{1}{3})}^{2 t - 1}$

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20、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 t x + 1$ 在区间 $(- \infty, 1]$ 上递减，且当 $x \in [0, t + 1]$ 时，有 $f {(x)}_{\max} - f {(x)}_{\min} \leq 2$ ，则实数t的取值范围是（）

A、 $[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$ B、 $[1, \sqrt{2}]$ C、 $[2, 3]$ D、 $[1, 2]$

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