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相关试卷

1、已知两个非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 同时满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{a} + \vec{b}|$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角的大小为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2、将函数 $y = sin (x + \frac{π}{3})$ 图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再将图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得到的函数的表达式为（）

A、 $y = cos (2 x + \frac{π}{3})$ B、 $y = cos (2 x + \frac{2 π}{3})$ C、 $y = sin (2 x + \frac{7 π}{12})$ D、 $y = sin (\frac{1}{2} x + \frac{11 π}{24})$

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3、已知 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，若 $A B = 1$ ， $A C = 2$ ，则“ $∠ B A C$ 为锐角”是“ $S < 1$ ”（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4、直线 $l : x \cos θ + y \sin θ = 2 + \cos θ$ 与圆 $O : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 9$ 的位置关系是（）

A、相离 B、相交 C、相切 D、无法确定

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5、已知集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq 2}$ ， $B = {k ∣ - 3 \leq k \leq 3, k \in Z}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $[- 2, 2]$ C、 $\{- 2, 0, 2\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$

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6、已知函数 $f (x) = (x^{2} - a x) ln x + x (a \in R, a > 0)$ ．

(1)、分析函数 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ 的单调性．

(2)、若 $0 < a \leq 1$ ，试问 $f (x)$ 是否存在零点．若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由．

(3)、若 $f (x)$ 有两个零点，求满足题意的 $a$ 的最小整数值．（参考数据： $ln 2 \approx 0.693$ ， $\sqrt{e} \approx 1.649$ ）

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7、如图，将圆 $O$ 沿直径 $A B$ 折成直二面角，已知三棱锥 $P - C O D$ 的顶点 $C$ 在半圆周上， $P$ ， $D$ 在另外的半圆周上， $O C ⊥ A B$ ．

(1)、若 $O D ⊥ O P$ ，求证： $O P ⊥ C D$ ；

(2)、若 $O A = 2$ ， $∠ A O D = 30^{\circ}$ ，直线 $C D$ 与平面 $P O C$ 所成的角为 $45^{\circ}$ ，求三棱锥 $C - P O D$ 的体积．

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = \{\begin{array}{l} - \frac{n + 3}{2}, n 为奇数 \\ \frac{n}{2}, n 为偶数 \end{array}$ ．

(1)、求 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 的值．

(2)、求数列的通项．

(3)、求数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和．

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9、已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的极值，并在给定的直角坐标系中画出函数 $y = f (x)$ 的大致图象（不用说明理由）；

(2)、求证： $\frac{f (x) + e^{x}}{x^{2}} > ln x - x + 3$ ．

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $\frac{a_{n + 1} + 1}{a_{n} + 1} = 3$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = n (a_{n} + 1)$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = \frac{3 n^{2} + n}{2}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} = 2^{n} - 1$ ，将 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的公共项由小到大排列构成新数列 $\{c_{n}\}$ ，则数列 $\{c_{n}\}$ 的前5项和等于．

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12、过点 $P (1, 2)$ 作曲线 $C : y = \frac{4}{x}$ 的两条切线，切点分别为 $A$ ， $B$ ，则直线 $A B$ 的方程为．

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13、已知函数 $f (x) = a x^{2} - 2 x + ln x$ ，若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则下面判断正确的是（）

A、 $0 < a < \frac{1}{2}$ B、 $x_{1} x_{2} > 1$ C、 $f (x_{1}) > 0$ 且 $f (x_{2}) > - \frac{3}{2}$ D、 $f (x_{1}) + f (x_{2}) < - 3$

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} = 2$ ， $a_{6} = 32$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，则 $a_{3} a_{4} = 64$ B、若 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，则 $a_{1} + a_{7} = 34$ C、若 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，则 $a_{2}$ 、 $a_{6}$ 的等比中项 $a_{4}$ 为8 D、若 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，则 $a_{2}$ 、 $a_{6}$ 的等差中项为17

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15、小明从 $4 S$ 店购买了一辆价格为25万元的家用轿车，首付11万元，剩余的款项采用分期付款的方式还款，还款方式为：每年年底还固定款项2万元以及余款的当年利息，年利率为10%，直到全部还完为止．则购买这辆车小明最后实际共花（）

A、28.5万元 B、30.6万元 C、31.8万元 D、32.2万元

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16、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2}$ 在 $x \in (1, \infty)$ 单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq 0$ B、 $a \leq \frac{e^{2}}{2}$ C、 $a \leq 1$ D、 $a \leq \frac{e}{2}$

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17、设 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{4} = 4$ ， $S_{3} = S_{2} + 2$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $1$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2$

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18、在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则至少取到1件次品的不同方法数共有（）

A、 $C_{3}^{1} C_{47}^{1}$ B、 $C_{3}^{1} C_{49}^{1}$ C、 $C_{50}^{2} - C_{3}^{2}$ D、 $C_{3}^{1} C_{47}^{1} + C_{3}^{2} C_{47}^{0}$

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19、函数 $f (x) = \frac{cos (\frac{π}{2} + x)}{e^{x}}$ 的导数 $f^{'} (x) =$ （）

A、 $f (x) = \frac{cos x - sin x}{e^{x}}$ B、 $f (x) = \frac{sin x - cos x}{e^{x}}$ C、 $f (x) = \frac{cos x - sin x}{e^{2 x}}$ D、 $f (x) = \frac{sin x - cos x}{e^{2 x}}$

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20、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{3} = 6$ ，则其通项公式可能是（）

A、 $a_{n} = n!$ B、 $a_{n} = n^{2}$ C、 $a_{n} = 2 A_{n}^{2}$ D、 $a_{n} = C_{n}^{2}$

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