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相关试卷

1、已知函数 $y = 3^{x}$ 图象上不同的两点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 到直线 $y = \frac{1}{3}$ 的距离相等，则（）

A、 $x_{1} x_{2} < 0$ B、 $x_{1} + x_{2} < - 2$ C、 $y_{1} y_{2} > \frac{1}{9}$ D、 $y_{1} + y_{2} < 2 \times 3^{\frac{x_{1} + x_{2}}{2}}$

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2、已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\frac{3 - sin α}{2 - {cos}^{2} β} = 2$ ，则 $tan α tan 2 β =$ （）

A、2 B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3、已知 $S_{n}$ 为正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{3} a_{5} a_{7} = a_{4} a_{8}$ ， $S_{3} = 7$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、6

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4、若复数 $z$ 满足 $\frac{z + i}{z - 1} = 1 + i$ ，则在复平面内， $\bar{z}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5、已知集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2\}$ ， $B = \{x | x (x - 2) > 0\}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$

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6、二次函数的图象是抛物线，现在我们用 “图象平移” 的方式讨论其焦点与准线，举例如下：二次函数 $y = x^{2} + 1$ 的图象可以由 $y = x^{2}$ 的图象沿向量 $\vec{n} = (0, 1)$ 平移得到；抛物线 $y = x^{2}$ ，即 $x^{2} = y$ 的焦点坐标为 $(0, \frac{1}{4})$ ，准线方程为 $y = - \frac{1}{4}$ ；故二次函数 $y = x^{2} + 1$ 的焦点坐标为 $(0, \frac{5}{4})$ ，准线方程为 $y = \frac{3}{4}$ .

(1)、求二次函数 $y = \frac{1}{4} x^{2} - x + 1$ 的焦点坐标和准线方程；

(2)、求二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的焦点坐标和准线方程；

(3)、设过 $A (4, 1)$ 的直线与抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} - x + 1$ 的另一个交点为 $B$ ，直线 $A B$ 与直线 $y = x - 4$ 交于点 $P$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} - x + 1$ 于点 $N$ . 是否存在定点 $G$ ，使得 $B, N, G$ 三点共线? 若存在，请求出定点 $G$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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7、已知函数 $f (x) = e^{x} - x \ln x + m x - 1 (m \in R)$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 有两个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ .
（ⅰ）求实数 $m$ 的取值范围；
（ⅱ）证明： $x_{1} x_{2} < 1$ .

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8、如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm³)的最大值为．

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9、等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} a_{5} = 2 a_{4}$ ，且 $a_{3}$ 与 $2 a_{6}$ 的等差中项为 $\frac{5}{4}$ ，则 $S_{4} =$ .

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10、“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和，则下列命题中正确的是（）

A、在“杨辉三角”中，第 $n$ 行的所有的数字之和为 $2^{n}$ B、在“杨辉三角”第 $2 n$ 行的数中，从左到右第 $n$ 个数最大 C、在“杨辉三角”中，从第3行开始，取每行的第4个数得到一数列，则该数列前10项之和为 $C_{13}^{4}$ D、记“杨辉三角”第 $n$ 行的第 $i$ 个数为 $a_{i}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n + 1} a_{i} \cdot a_{n + 2 - i}$ 的值恰好是第 $2 n$ 行的中间一项的数字

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11、已知函数 $f (x) = sin x + cos x + |sin x - cos x|$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(π, 0)$ 对称 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ C、 $f (x)$ 的最小值为 $- 2$ D、 $f (x) = \sqrt{3}$ 在 $[0, 2 π]$ 上有四个不同的实数解

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12、为了解目前本市高二学生身体素质状况，对某校高二学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩 $X ~ N (70, 100)$ ，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（）
参考数据：随机变量 $ξ ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < ξ < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < ξ < μ + 3 σ) = 0.9974$ .

A、该校学生体育成绩的方差为100 B、该校学生体育成绩的期望为70 C、该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当 D、该校学生体有成绩的及格率不到 $85 %$

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13、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 3 a x + a - 1, x < 1, \\ x^{a} + ln (x + e - 1), x \geq 1 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{2}{3}, 1]$ B、 $[\frac{2}{3}, 2]$ C、 $[\frac{1}{3}, 2]$ D、 $(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (1, + \infty)$

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14、定义：若函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在公共定义域内存在 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) + g (x_{0}) = 0$ ，则称 $f (x)$ 与 $g (x)$ 为“契合函数”， $x_{0}$ 为“契合点”．

(1)、若 $f (x) = - \ln x - 1$ 与 $g (x) = a x$ 为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围．

(2)、若 $p (x) = e^{x} - x \ln x$ 与 $q (x) = b x - 1$ 为“契合函数”，且有两个不同的“契合点” $x_{1}, x_{2}$ ．
①求b的取值范围；
②证明： $x_{1} x_{2} < 1$ ．

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15、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点， $A$ 是 $C$ 的右顶点，且 $|A F_{1}| = 3$ ， $|A F_{2}| = 1$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、 $P$ 是 $C$ 上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，求 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积；

(3)、已知 $M$ ， $N$ 是 $C$ 上不同的两点，直线 $A M$ ， $A N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = 3$ ，证明：直线 $M N$ 过定点.

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16、正比例手办是按照动漫角色的一定比例制作的手办，细节丰富，高度还原角色形象.已知某店内共有20个正比例手办，其中有8个正比例手办采用树脂材质制成，有12个正比例手办采用PVC材质制成，树脂材质的正比例手办中有2个是 $\frac{1}{4}$ 比例手办，6个是 $\frac{1}{8}$ 比例手办，PVC材质的正比例手办中有4个是 $\frac{1}{4}$ 比例手办，8个是 $\frac{1}{8}$ 比例手办.该店举行了一个抽奖活动，将这20个正比例手办编号为1，2，3，…20，盒子内有编号分别为1，2，3，…，20的20张小纸条，消费者抽到编号为 $i (i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, 20)$ 的纸条即视为抽到编号为i的正比例手办，消费者一次性从盒子内随机抽取2张纸条，每位消费者只有一次机会.

(1)、记事件 $A$ 为“消费者小曲抽到的2个正比例手办的材质与比例均相同”，求 $P (A)$ ；

(2)、若消费者抽到的2个正比例手办的材质与比例均不相同，则无奖励；若仅材质或仅比例相同，则奖励100元；若材质与比例均相同，则奖励200元.记消费者小曲获得的奖金金额为 $η$ 元，请写出 $η$ 的分布列及期望.

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足 $2 S_{n} = 3 n^{2} - k n, k$ 为常数，且 $S_{4} = 22$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} \times 2^{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 3 A B = 6$ ， $D$ 为 $C C_{1}$ 的中点．

(1)、求点 $B$ 到直线 $A_{1} D$ 的距离；

(2)、求异面直线 $A B_{1}$ 与 $B D$ 所成角的余弦值．

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19、《九章算术•商功》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.在堑堵 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} B = 3 \sqrt{2}$ ， $A B = A C$ ，则堑堵 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 体积的最大值为.

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20、设随机变量 $ξ \sim B (3, p)$ ，且 $P (ξ = 1) = 5 P (ξ = 2)$ ，则 $p =$ ；若随机变量 $η$ 满足 $ξ = \frac{1}{2} η + 1$ ，则 $η$ 的方差为.

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