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相关试卷

1、已知复数 $z = \frac{2}{1 + i}$ ，则 $|z - i| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、5

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2、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $(\sin A - \sin C) \cdot (\sin A + \sin C) = \sin B (\sin A - \sin B)$ ．

(1)、求角 $C$ ；

(2)、求 $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ 的取值范围；

(3)、当 $c = 1$ 时，角 $C$ 的平分线交 $A B$ 于 $D$ ，求 $C D$ 长度的最大值．

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3、已知向量 $\vec{a} = (0, 2)$ ， $\vec{b} = (1, m)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ .

(1)、求 $m$ ， $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ ；

(2)、当实数 $k$ 取何值时，向量 $4 \vec{a} + k \vec{b}$ 与 $k \vec{a} + \vec{b}$ 方向相反?

(3)、若 $\vec{a} - λ \vec{b}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为锐角，求实数 $λ$ 的取值范围.

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4、如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，在底面 $A B C D$ 中， $\vec{B C} = \frac{2}{3} \vec{A D}$ ， E在棱PD上且 $P E = 2 E D$ .

(1)、求证： $B C //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、线段 $A D$ 上是否存在点N，使得平面 $C E N //$ 平面 $P A B$ ？若存在，写出 $\frac{A N}{A D}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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5、如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面边长是 $2$ ，侧棱长是 $2 \sqrt{3}, M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点， $N$ 是侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内的动点，且 $M N / /$ 平面 $A B C_{1}$ ，则点 $N$ 的轨迹的长度为．

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6、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (3, x)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\vec{b} =$ .

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7、已知 $α, β$ 是两个不重合的平面， $a, b$ 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）

A、若 $α / / β, a ⊥ β$ ，则 $a ⊥ α$ B、若 $α ⊥ β, α \cap β = a, b ⊥ a$ ，则 $b ⊥ β$ C、若 $a ⊥ α, a ⊥ b$ ，则 $b / / α$ D、若 $α ⊥ β, a ⊥ β, b ⊥ α$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$

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8、已知 $\vec{a} 、 \vec{b} 、 \vec{c}$ 是三个向量，则下列结论中正确的是（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ B、 $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$ C、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ D、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{b} = \vec{c}$

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 的三等分点且靠近 $C$ 点， $E$ 为 $A D$ 的中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，则向量 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b}$ B、 $- \frac{5}{6} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{5}{6} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

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10、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{m^{2}} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ 的右焦点为 $F (2, 0)$ ，则 $C$ 的长轴长为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $2 \sqrt{10}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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11、已知 $S_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{4} = 4 a_{3} - 4 a_{2}$ ，则 $\frac{S_{4}}{a_{1} + a_{2}} =$ （）

A、5 B、9 C、 $- 9$ D、 $- 5$

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12、已知圆锥的母线长为 $2 \sqrt{3}$ ，其外接球体积为 $\frac{32 π}{3}$ ，则该圆锥的表面积为（）

A、3π B、6π C、9π D、12π

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13、如图，在△ABC中， $\vec{A N} = \frac{1}{2} \vec{N C}$ ， P是线段BN上的一点，若 $\vec{A P} = m \vec{A B} + \frac{1}{5} \vec{A C}$ ，则实数m等于（）

A、 $- \frac{2}{5}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{5}$

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14、某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为6．一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为．

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15、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |ln x|, 0 < x \leq e \\ 2 - ln x, x > e \end{array}$ ，若 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3})$ 且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + x_{3}$ 的取值范围是．

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16、设 $n \in N^{*}, n \geq 4$ ，集合 $P_{n} = \{\vec{x} | \vec{x} = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}), x_{i} \in \{0, 1\}, 1 \leq i \leq n, i \in N^{*}\}$ （ $\vec{x}$ 为向量），若 $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}) \in P_{n}, \vec{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3}, \cdot \cdot \cdot, b_{n}) \in P_{n}$ ，定义 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}$ .

(1)、若 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \in P_{4}$ ，且 $\vec{a} = (0, 1, 1, 1), \vec{b} = (1, 1, 0, 1), \vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c} = 2$ ，写出所有的 $\vec{c}$ ；

(2)、若 $\vec{a}, \vec{b} \in P_{n}$ ，且 $\vec{a} = (1, 1, 1, \cdot \cdot \cdot, 1)$ ，设满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = m$ 的 $\vec{b}$ 的个数为 $f (m)$ ，求 $\sum_{m = 0}^{n - 1} {(- 1)}^{m} f (m)$ 的值；

(3)、从集合 $P_{n}$ 中任取两个不同的向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，记 $\vec{a} \cdot \vec{b} = X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望.

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17、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点 $F (2, 0)$ 到 $C$ 的一条渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设点 $P$ 在 $C$ 的右支上，过点 $P$ 作圆 $O : x^{2} + y^{2} = \frac{3}{2}$ 的两条切线，一条与 $C$ 的左支交于点 $M$ ，另一条与 $C$ 的右支交于点 $N$ （异于点 $P$ ）.
（ⅰ）证明： $O M ⊥ O P$ ；
（ⅱ）当 $△ P M N$ 的面积最小时，求直线 $P M$ 和直线 $P N$ 的方程.

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18、已知函数 $f (x) = e^{2 x}, g (x) = \sqrt{a x}$ （ $a \in R$ ，且 $a \neq 0$ ）.

(1)、若 $a > 0$ ，直线 $l : y = 2 x + m$ 与曲线 $y = f (x)$ 和曲线 $y = g (x)$ 都相切，求 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x) \geq g (x)$ ，求 $a$ 的取值范围.

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19、如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是菱形， $∠ B A D$ 为锐角， $E, F$ 分别为棱 $A_{1} D_{1}, C D$ 的中点，点 $M$ 在棱 $C_{1} D_{1}$ 上，且 $C_{1} M = 3 M D_{1}, A A_{1} = A B = 4$ ，点 $P$ 在直线 $E M$ 上.

(1)、证明： $E M / /$ 平面 $A B_{1} F$ ；

(2)、若直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $32 \sqrt{3}$ ，当直线 $F P$ 与平面 $A B_{1} F$ 所成角的正弦值最大时，求 $M P$ 的长.

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20、在平面四边形 $A B C D$ 中， $A C = A D = 4, ∠ C A D = 60 °, ∠ A B C = 90 °$ ，若 $△$ $A B D$ 的面积是 $△ B C D$ 的面积的2倍，则 $B D$ 的长度为.

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