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相关试卷

1、设集合 $A = \{x ∣ 3^{x} < 1\}$ ， $B = {x ∣ y = \lg (x + 3)}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(- 3, 0)$ C、 $[- 3, 0)$ D、 $(- 3, 1)$

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2、已知函数 $f (x) = x^{3} - 2 \sqrt{2} x + 1$ ，若过点 $(0, 1)$ 的两条互相垂直的直线分别与 $f (x)$ 的图象交于另外的点 $A, C$ 和 $B, D$ ，且四边形ABCD为正方形，则这两条直线的斜率之和为．

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3、若命题 $p : k < 2$ ，命题 $q :$ 直线 $y = k x - 1$ 与抛物线 $y = x^{2}$ 无公共点，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4、设函数 $f (x) = x {(\ln x)}^{2} - (a + 2) x \ln x + (a + 3) x, a > 0$ ．

(1)、 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(e, f (e))$ 处的切线方程；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，证明： $\frac{f (x_{1})}{x_{1}} - \frac{f (x_{2})}{x_{2}} < \frac{4 (x_{2} - e) \ln x_{1}}{e}$ ．

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5、已知函数 $f (x) = e^{x}$ ，点 $P_{n} (a_{n}, b_{n}) (n \in N^{*})$ 均为曲线 $y = f (x)$ 图象上的点，且 $a_{n} \neq 0$ ， $a_{n + 1} + a_{n} = 6 n + 3$ ， $a_{n + 1} > a_{n}$ .

(1)、当 $a_{1} \neq 3$ 时，证明： $\{a_{n} - 3 n\}$ 是等比数列；

(2)、求 $b_{1}$ 的取值范围；

(3)、证明：直线 $P_{n} P_{n + 1}$ 的斜率随 $n$ 的增大而增大.

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6、已知函数 $f (x) = a e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - x$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上的最值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间．

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7、甲、乙、丙做 $A, B, C, D$ 四项工作，每项工作只需且必须有1人完成，每人至少完成1项工作．

(1)、共有多少种不同的情况；

(2)、求甲做 $A$ 工作的概率．

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8、已知 $(x_{0}, y_{0})$ 是函数 $f (x) = ln (3 x - 1) + 3$ 图象上一点，函数 $g (x) = f^{'} (x_{0}) \cdot x$ 满足 $g (1) = 3$ ，则 $g (x)$ 图象上的点到 $f (x)$ 在 $(x_{0}, y_{0})$ 处的切线的距离为．

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9、已知 $\{\frac{1}{a_{n} - 1}\} (n \in N^{*})$ 为首项和公差均为1的等差数列，则满足 $a_{n} < 1.1$ 的 $n$ 的最小值为.

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10、已知前两项均为1的数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 2} = 2 a_{n} + a_{n + 1}$ ，记 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $a_{4} = 5$ B、 $2 S_{n} - 1 = a_{n + 2}$ C、 $\{a_{n + 1} + a_{n}\}$ 和 $\{a_{n + 1} - 2 a_{n}\}$ 均为等比数列 D、 $a_{2025} = \frac{2^{2025}}{3}$

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11、设函数 $f (x) = x - a \ln x (a \neq 0, x > 0)$ ，直线 $l$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切于点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ ，则（）

A、对于给定的 $x_{0}$ ，任意的 $a, l$ 恒过定点 B、对于给定的 $x_{0}$ ，存在一条直线，与 $l$ 的交点为定点 C、 $l$ 与 $y = x$ 的交点的横坐标存在最小值 D、 $l$ 与 $y = x$ 的交点的纵坐标存在最大值

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12、函数 $f (x) = \sin x + \sin 2 x$ 在 $[0, 2 π]$ 上的零点和极值点个数之和为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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13、某高校的一个宿舍的6名同学被邀请参加校运动会的表演，要求必须有人去，其中甲和乙两名同学关系要好，商量决定要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（）

A、15种 B、28种 C、31种 D、63种

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14、已知函数 $f (x) = x {(x - c)}^{2}$ 在 $x = 2$ 处取得极大值，则 $f (6) =$ （）

A、0 B、12 C、16 D、96

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15、从1，2，5，7中任取3个数字，从4，6，9中任取2个数字，则一共可以组成没有重复数字的五位数的个数为（）

A、720 B、1200 C、1440 D、1728

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16、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足，则 $a_{1} = 2, a_{n + 1} = \frac{a_{n} - 1}{a_{n} + 1}$ ，则 $a_{2025} =$ （）

A、 $- 3$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、2

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17、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A C = 2$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $∠ C A B = \frac{π}{6}$ ，平面PAD与平面PBC的交线为l，且 $A D / / l$ ．

(1)、证明 $A D ⊥ P B$ ；

(2)、若 $\vec{P E} = \frac{1}{3} \vec{P C}$ ，求平面ABE与平面PCB夹角的余弦值．

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18、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = A A_{1} = 3$ ，点M是线段 $B_{1} C_{1}$ 上一点，则下列说法正确的是（）

A、当M为 $B_{1} C_{1}$ 的中点时， $A_{1} M ⊥$ 平面 $M B C$ B、四面体 $A_{1} B C M$ 的体积为定值 C、 $A_{1} M + B M$ 的最小值为 $\frac{3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{6}}{2}$ D、四面体 $A_{1} B C M$ 的外接球半径的取值范围是 $[\sqrt{6}, \frac{3 \sqrt{3}}{2}]$

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19、若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（　　）

A、若 $m / / α, n \subset α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / α, n / / α$ ，则 $m / / n$ C、若 $m / / α, n ⊥ α$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $m / / α, n ⊥ α$ ，则m与n相交

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20、已知函数 $f (x) = e^{x} - a \sin x (a > 0)$ ，曲线 $y = f (x)$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线也与曲线 $y = 2 x - x^{2}$ 相切.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $x_{1}$ 是 $f (x)$ 的最大的极小值点， $x_{2}$ 是 $f (x)$ 的最大的极大值点，求证： $2 < f (x_{1}) + f (x_{2}) < \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ .

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