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相关试卷

1、已知集合 $A = \{1, 3, a^{2}\} ， B = \{1, a + 2\}$ ，若 $A \cap B = B$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、1 B、2 C、2或 $- 1$ D、1或 $- 1$

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2、已知双曲线 $C ： 4 x^{2} - y^{2} = 16$ ，则双曲线的实轴长为（）

A、2 B、4 C、8 D、16

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3、设 $m \in R$ ，若 $(1 + m i) (1 - i) = 2$ ，则 $m =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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4、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是梯形，其中 $A B / / C D, ∠ B C D = 60^{°}$ ， $A B = 2 B C = 2 C D = 4$ ，平面 $P B D ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、证明： $A D ⊥ P D$ ．

(2)、若 $A B ⊥ P D, M$ 是棱 $P C$ 上的动点，且 $P C$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值为 $\sqrt{3}$ ．
（i）求二面角 $B - P A - D$ 的余弦值；
（ii）记直线 $B M$ 与平面 $P A D$ 所成角为 $θ$ ，求 $\sin θ$ 的最大值．

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5、记 $△ A B C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\sqrt{3} sin C = \sqrt{2} cos B ， a^{2} + b^{2} - c^{2} - \sqrt{2} a b = 0$ .

(1)、求角B；

(2)、若 $b + c = \sqrt{2} + 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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6、已知直线 $l : a x + 2 y - a - 4 = 0$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、求直线 $l$ 所过定点．

(2)、当直线 $l$ 在 $x$ 轴上的截距是它在 $y$ 轴上的截距 $3$ 倍时，求实数 $a$ 的值．

(3)、若直线 $l$ 不经过第四象限，求实数 $a$ 的取值范围．

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7、已知正四面体 $P - A B C$ 的棱长为 $1$ ，动点 $M$ 在面 $A B C$ 上运动，且满足 $\vec{P M} = - \vec{P A} - \vec{P B} + m \vec{P C}$ ，　则 $\vec{P M} \cdot \vec{A B}$ 的值为.

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8、对于直线 $l : (m - 1) x + y - 2 m + 3 = 0$ ，下列选项正确的是（）

A、直线 $l$ 恒过点 $(2, - 1)$ B、当 $m = 0$ 时，直线 $l$ 在 $y$ 轴上的截距为 $3$ C、已知点 $A (3, 1), B (- 1, 2)$ ，若直线 $l$ 与线段 $A B$ 相交，则 $m$ 的取值范围是 $[0, 3]$ D、坐标原点到直线 $l$ 的距离的最大值为 $\sqrt{5}$

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9、关于空间向量，以下说法正确的是（）

A、若对空间中任意一点 $O$ ，有 $\vec{O P} = \frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{4} \vec{O C}$ ，则 $P$ 、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 四点共面 B、已知两个向量 $\vec{a} = (m, 2, 3)$ ， $\vec{b} = (- 2, 4, n)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m + n = 5$ C、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，且 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ ，则 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2} = 0$ D、 $\vec{a} = (0, 1, 1)$ ， $\vec{b} = (0, 0, - 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(0, - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$

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10、直线 $l_{1} : x + (m + 1) y - 2 m - 2 = 0$ 与直线 $l_{2} : (m + 1) x - y - 2 m - 2 = 0$ 相交于点P，对任意实数m，直线 $l_{1}, l_{2}$ 分别恒过定点 $A, B$ ，则 $| P A | + | P B |$ 的最大值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、4

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11、若向量 $\vec{a} = (1, 2, 0)$ ， $\vec{b} = (- 2, 0, 1)$ ，则（）

A、 $cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = - \frac{1}{2}$ B、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ D、 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$

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12、直线 $x - \sqrt{3} y - 3 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $150^{\circ}$ B、 $120^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $30^{\circ}$

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $\{b_{n}\}$ 是等比数列， $a_{1} = b_{1} = 2, a_{2} = b_{2} + 1, a_{3} = b_{3}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、 $\forall n \in N^{*}$ ， $I = \{0, 1\}$ ，有 $T_{n} = \{p_{1} a_{1} b_{1} + p_{2} a_{2} b_{2} + ... + p_{n - 1} a_{n - 1} b_{n - 1} + p_{n} a_{n} b_{n} | p_{1}, p_{2}, ..., p_{n - 1}, p_{n} \in I\}$ ，
（i）求证：对任意实数 $t \in T_{n}$ ，均有 $t < a_{n + 1} b_{n + 1}$ ；
（ii）求 $T_{n}$ 所有元素之和．

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $∠ B A P = ∠ B A D$ ， $C D = 1$ ， $A B = A P = A D = 2$ ， $D P = \sqrt{2}$ ．

(1)、求证： $A B ⊥ D P$ ；

(2)、若 $C D ⊥ A D$ ，求直线 $B P$ 与平面 $C D P$ 所成角的正弦值．

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15、若关于x的不等式 $ln x \leq \frac{1}{a} x^{2} - b x + 1$ 恒成立，则 $a b$ 的最大值是.

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16、已知函数 $f (x) = sin (2 x + φ) (|φ| < π)$ 的部分图象如图所示，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $- \frac{2 π}{3}$ D、 $- \frac{5 π}{6}$

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17、已知 $l, m$ 是两条不同的直线， $α$ 为平面， $m \subset α$ ，下列说法中正确的是（）

A、若 $l \cap α = A$ ，且 $l$ 与 $α$ 不垂直，则 $l$ 与 $m$ 一定不垂直 B、若 $l$ 与 $α$ 不平行，则 $l$ 与 $m$ 一定是异面直线 C、若 $l \cap α = A$ ，且 $A \notin m$ ，则 $l$ 与 $m$ 可能平行 D、若 $l / / α$ ，则 $l$ 与 $m$ 可能垂直

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18、已知集合 $A = \{1, 2\}, B = \{1, 2, 3\}, C = \{\begin{matrix} x | x^{2} - 2 x - 3 < 0 \end{matrix}\}$ ，则 $(A \cap B) \cap C =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{1, 2, 3\}$ C、 $\{\begin{matrix} 3 \end{matrix}\}$ D、 $\{1, 2\}$

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19、已知 $A (- 2, 3)$ 、 $B (2, 1)$ ，若斜率存在的直线l经过点 $P (0, - 1)$ ，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（）

A、 $[- 2, 1]$ B、 $[- 1, 2]$ C、 $(- \infty, - 2] \cup [1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1] \cup [2, + \infty)$

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20、定义可导函数 $y = f (x)$ 在x处的弹性函数为 $f^{'} (x) \cdot \frac{x}{f (x)}$ ，其中 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数．在区间D上，若函数 $f (x)$ 的弹性函数值大于1，则称 $f (x)$ 在区间D上具有弹性，相应的区间D也称作 $f (x)$ 的弹性区间．
（1）若 $r (x) = e^{x} - x + 1$ ，求 $r (x)$ 的弹性函数及弹性函数的零点；
（2）对于函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} + \ln x - t x$ （其中e为自然对数的底数）
（ⅰ）当 $t = 0$ 时，求 $f (x)$ 的弹性区间D；
（ⅱ）若 $f (x) > 1$ 在（i）中的区间D上恒成立，求实数t的取值范围．

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