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相关试卷

1、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{8} - 2 a_{1} = 6$ ， $S_{5} = 15$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{3^{a_{n}}}{(3^{a_{n}} - 1) (3^{a_{n + 1}} - 1)}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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2、已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $E$ ， $F$ 分别为线段 $B C$ ， $P A$ 的中点， $G$ 是线段 $P D$ 上的一点， $P A = A D = 2$ .若异面直线 $C F$ 与 $E G$ 所成角的余弦值为 $\frac{4 \sqrt{41}}{41}$ ，则三棱锥 $P - E F G$ 的体积为.

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} - \frac{1}{2} a_{n} = \frac{3}{2 n} a_{n}$ ，则 $a_{5} =$ .

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4、已知有甲、乙两个盒子，甲盒中有3个红球，2个白球，乙盒中有2个红球，4个白球，这些球除颜色外，形状大小都相同.现从甲、乙两个盒子中各摸取一球，则摸取的两个球恰好一红一白的概率为.

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5、已知 $A_{1} (- 4, 0)$ ， $A_{2} (4, 0)$ ，点 $P$ 满足直线 $P A_{1}$ 与直线 $P A_{2}$ 的斜率之积为 $- \frac{3}{4}$ ，记点 $P$ 的轨迹为 $C$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为曲线 $C$ 的左、右焦点，若 $l$ 经过 $F_{2}$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $△ A F_{1} F_{2}$ ， $△ B F_{1} F_{2}$ 的内切圆分别与 $l$ 相切于 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，半径分别为 $r_{1}$ ， $r_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ B、 $|P F_{1}| + |P F_{2}| = 8$ C、 $|A S_{1}| = |B S_{2}| = 2$ D、 $r_{1} r_{2} = |S_{1} F_{2}| |S_{2} F_{2}|$

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6、设公比 $q > 1$ 的等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} + a_{4} = 4$ ， $a_{1} a_{6} = 3$ ，则（）

A、 $q = 3$ B、 $\frac{S_{4}}{S_{3}} = \frac{40}{13}$ C、 $a_{9} + a_{10} + a_{11} + a_{12} = 360$ D、若 $a_{m} a_{n} = 1$ ，则 $m + n = 6$

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7、已知 $A (- 2, 3, 1)$ ， $B (0, - 1, 4)$ ， $C (1, 3, - 5)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $|\vec{A B} + \vec{A C}| = 5 \sqrt{2}$ B、与 $\vec{B C}$ 平行的一个单位向量是 $(\frac{\sqrt{2}}{14}, \frac{2 \sqrt{2}}{7}, - \frac{9 \sqrt{2}}{14})$ C、 $\vec{A B} ⊥ (3 \vec{A B} - 2 \vec{B C})$ D、平面 $A B C$ 的一个法向量是 $(8, 7, 4)$

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8、双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，设 $P (\frac{3}{2}, 1)$ ，过 $F$ 且斜率存在的一条直线与双曲线交于 $A$ ， $B$ 两点.记直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率依次为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若 $k_{1} \in (0, \frac{\sqrt{3}}{3})$ ，则 $k_{2}$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2 - \sqrt{3}, - 2)$ B、 $(- 3 - \sqrt{3}, - 3)$ C、 $(- 4 - \frac{\sqrt{3}}{3}, - 4)$ D、 $(- 5 - \frac{\sqrt{3}}{3}, - 5)$

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9、如图，正四面体 $P - A B C$ 的棱长为4， $P O ⊥$ 平面 $A B C$ ， $O$ 为垂足， $\vec{P D} = \frac{1}{4} \vec{P O}$ ，延长 $C O$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，则 $\vec{C E} \cdot (\vec{A D} + \vec{P C}) =$ （）

A、12 B、 $- 12$ C、16 D、 $- 16$

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10、 $\forall x \in R$ ，用 $m (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 中的最小者，记为 $m (x) = min \{f (x), g (x)\}$ .记 $m (x)$ 的最大值为 $m {(x)}_{max}$ ， $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如： $[2.1] = 2$ ， $[- 0.1] = - 1$ ，若 $f (x) = 2 - |x|$ ， $g (x) = 2^{x}$ ，则 $[m {(x)}_{max}] =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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11、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{4} + a_{7} = 28$ ， $a_{1} + a_{5} + a_{10} = 41$ ，则其前30项和 $S_{30} =$ （）

A、585 B、957 C、1020 D、1085

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12、已知圆 $O_{1}$ ： ${(x - 4)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 1$ ，圆 $O_{2}$ ： ${(x + 2)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 144$ ，则这两个圆的位置关系为（）

A、外离 B、外切 C、相交 D、内含

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13、若点 $P (- 3, 4)$ 在直线 $k x - y + b = 0$ 上的垂足为 $(1, 2)$ ，则 $k + 2 b =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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14、设复数 $z = 6 + a i (a \in R)$ ，且 $|z| = 10$ ，则 $a =$ （）

A、4 B、8 C、 $\pm 4$ D、 $\pm 8$

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15、已知集合 $A = \{x |x + \frac{1}{x} < 0\}$ ， $B = \{x |4 - x > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(0, 4)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(4, + \infty)$

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16、正弦型函数被广泛运用于信号处理领域．不同周期的正弦型函数叠加，是构建复杂信号的重要方式，在诸多领域（如音频处理、图象处理、通信系统等）中发挥着关键作用．
已知函数 $f_{n} (x) = \sin x + \frac{\sin 3 x}{3} + \frac{\sin 5 x}{5} + \dots + \frac{\sin (2 n - 1) x}{2 n - 1}$ ， $n \in N^{*}$ ， $x \in (0, 2 π)$ ．

(1)、求 $f_{1} (x - \frac{2 π}{3}) + f_{1} (x) + f_{1} (x + \frac{2 π}{3})$ 的值；

(2)、设函数 $F (x) = f_{1} (x) \cdot f_{2} (x)$ ，求 $F (x)$ 的值域；

(3)、本小题你有两个选择，请选择其中一个作答：
①判断函数 $y = f_{3} (x)$ 的零点个数，并说明理由；
②判断函数 $y = f_{n} (x)$ 的零点个数，并说明理由．

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17、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．已知 $\cos 2 B - \cos 2 A = 2 \sin B \sin C$ ．

(1)、若 $B = C$ ，求 $A$ ；

(2)、求 $\frac{a}{b}$ 的取值范围；

(3)、设 $D$ 是边 $B C$ 上一点，若 $B = \frac{π}{12}$ ， $\tan ∠ C A D = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ ，记 $△ A B D$ ， $△ A D C$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值．

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18、已知向量 $\vec{m} = (- \cos x, \sin x)$ ， $\vec{n} = (\sqrt{3} \sin x + 2 \cos x, \sin x)$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} + \frac{1}{2}$ ．

(1)、若 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若 $x \in [0, \frac{π}{3}]$ ， $f (x) = - 1$ ，求 $cos (2 x + \frac{π}{12})$ 的值．

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19、在 $△ A B C$ 中，已知 $|\vec{A B}| = 2$ ， $|\vec{A C}| = 4$ ， $\vec{A B}$ 和 $\vec{A C}$ 的夹角为 $θ$ ，且 $\cos θ = \frac{1}{4}$ ．

(1)、若 $D$ 为 $A B$ 的中点，求 $\vec{A B} \cdot \vec{C D}$ ．

(2)、已知 $\vec{B E} = λ \vec{B C}$ ，若 $| \vec{A E} | = \frac{\sqrt{15}}{2}$ ，求实数 $λ$ 的值．

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20、设 $x$ 为实数，已知复数 $z = (x - 2) + (x^{2} - 9) i$ ．

(1)、若 $z$ 对应的点在第一象限，求 $x$ 的取值范围；

(2)、若 $m$ 为实数，且 $z$ 与复数 $m - 5 i$ 相等，求 $m$ 的值．

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