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相关试卷

1、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，已知向量 $\vec{u} = (a, b, c)$ ，点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ .若直线 $l$ 以 $\vec{u}$ 为方向向量且经过点 $P_{0}$ ，则直线 $l$ 的标准式方程可表示为 $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c} (a b c \neq 0)$ ；若平面 $α$ 以 $\vec{u}$ 为法向量且经过点 $P_{0}$ ，则平面 $α$ 的点法式方程表示为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ .

(1)、已知直线 $l$ 的标准式方程为 $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- \sqrt{3}} = \frac{z}{2}$ ，平面 $α_{1}$ 的点法式方程可表示为 $\sqrt{3} x + y - z + 5 = 0$ ，求直线 $l$ 与平面 $α_{1}$ 所成角的余弦值；

(2)、已知平面 $α_{2}$ 的点法式方程可表示为 $2 x + 3 y + z - 2 = 0$ ，平面外一点 $P (1, 2, 1)$ ，点 $P$ 到平面 $α_{2}$ 的距离；

(3)、（i）若集合 $M = {(x, y, z) | | x | + | y | \leq 2, | z | \leq 1}$ ，记集合 $M$ 中所有点构成的几何体为 $S$ ，求几何体 $S$ 的体积；
（ii）若集合 $N = {(x, y, z) | | x | + | y | \leq 2, | y | + | z | \leq 2, | z | + | x | \leq 2}$ .记集合 $N$ 中所有点构成的几何体为 $T$ ，求几何体 $T$ 相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.

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2、甲､乙､丙三人玩“剪刀､石头､布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀），规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得2分，输者负1分；③三人出现三种手势均得0分.当有人累计得3分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响.

(1)、求甲在一局中得2分的概率 $P_{1}$ ；

(2)、求游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率 $P_{2}$ ；

(3)、求游戏经过两局就结束的概率 $P_{3}$ .

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3、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = A A_{1} = 1, A B = 2$ ，点 $E$ 在棱 $A B$ 上移动.

(1)、当点 $E$ 在棱 $A B$ 的中点时，求平面 $D_{1} E C$ 与平面 $D C D_{1}$ 所成的夹角的余弦值；

(2)、当 $A E$ 为何值时，直线 $A_{1} D$ 与平面 $D_{1} E C$ 所成角的正弦值最小，并求出最小值.

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4、某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图.

(1)、根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；

(2)、成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；

(3)、已知落在 $[60, 70)$ 内的平均成绩为67，方差是9，落在 $[60, 80)$ 内的平均成绩是73，方差是29，求落在 $[70, 80)$ 内的平均成绩和方差.
（附：设两组数据的样本量､样本平均数和样本方差分别为： $m, \bar{x_{1}}, s_{1}^{2}; n, \bar{x_{2}}, s_{2}^{2}$ .记两组数据总体的样本平均数为 $\bar{w}$ ，则总体样本方差 $s^{2} = \frac{m}{m + n} [s_{1}^{2} + {(\bar{x_{1}} - \bar{w})}^{2}] + \frac{n}{m + n} [s_{2}^{2} + {(\bar{x_{2}} - \bar{w})}^{2}]$ ）

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5、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $(2 c - b) cos A - a cos B = 0$

(1)、求 $A$ ；

(2)、若点 $M$ 在 $B C$ 上，且满足 $\vec{B M} = \vec{M C}, A M = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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6、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $\sqrt{3} a sin C - a - b = \frac{a^{2} - b^{2} - c^{2}}{2 b}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4} (a + b + c)$ ，则 $2 a + b$ 的最小值为.

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7、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 1, \vec{a} + 2 \vec{b} = (2 \sqrt{2}, 1)$ ，则 $cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ =$ .

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8、已知 $3 i - 1$ 是关于 $x$ 的实系数方程 $3 x^{2} + 2 p x + q = 0$ 的一个根，则实数 $p$ 的值为.

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9、设 $O x, O y, O z$ 是空间内正方向两两夹角为 $60^{\circ}$ 的三条数轴，向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{e_{3}}$ 分别与 $x$ 轴､ $y$ 轴. $z$ 轴方向同向的单位向量，若空间向量 $\vec{a}$ 满足 $\vec{a} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}} + z \vec{e_{3}} (x, y, z \in R)$ ，则有序实数组 $(x, y, z)$ 称为向量 $\vec{a}$ 在斜 $60^{\circ}$ 坐标系 $O x y z$ （ $O$ 为坐标原点），记作 $\vec{a} = (x, y, z)$ ，则下列说法正确的有（）

A、已知 $\vec{a} = (1, 2, 3)$ ，则 $|\vec{a}| = 5$ B、已知 $\vec{a} = (- 1, 2, 1), \vec{b} = (2, - 4, - 2)$ ，则向量 $\vec{a}$ $∥$ $\vec{b}$ C、已知 $\vec{a} = (3, - 1, 2), \vec{b} = (1, 3, 0)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ D、已知 $\vec{O A} = (1, 0, 0), \vec{O B} = (0, 1, 0), \vec{O C} = (0, 0, 1)$ ，则三棱锥 $O - A B C$ 的外接球体积 $V = \frac{\sqrt{6}}{8}$

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10、有一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ ，其平均数､中位数､标准差､极差分别记为 $a_{1}, b_{1}, c_{1}, d_{1}$ .由这组数据得到新样本数据 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$ ，其中 $y_{i} = 2 x_{i} - 2024 (i = 1, 2, \dots, n)$ ，其平均数､中位数､标准差､极差分别记为 $a_{2}, b_{2}, c_{2}, d_{2}$ ，则（）

A、 $a_{2} = 2 a_{1} - 2024$ B、 $b_{2} = b_{1}$ C、 $c_{2} = 2 c_{1}$ D、 $d_{2} = 2 d_{1}$

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11、现有一段底面周长为 $12 π$ 厘米和高为12厘米的圆柱形水管， $A B$ 是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管内壁爬行，一只从 $A$ 点沿上底部圆弧顺时针方向爬行 $π$ 厘米后再向下爬行3厘米到达 $P$ 点，另一只从 $B$ 沿下底部圆弧逆时针方向爬行 $π$ 厘米后再向上爬行3厘米爬行到达 $Q$ 点，则此时线段 $P Q$ 长（单位：厘米）为（）

A、 $6 \sqrt{2}$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、6 D、12

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12、抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记录骰子朝上面的点数，若用 $x$ 表示红色骰子的点数，用 $y$ 表示绿色骰子的点数，用 $(x, y)$ 表示一次试验结果，设事件 $E : x + y = 8$ ；事件 $F$ ：至少有一颗点数为5；事件 $G : x > 4$ ；事件 $H : y \leq 4$ .则下列说法正确的是（）

A、事件 $E$ 与事件 $F$ 为互斥事件 B、事件 $F$ 与事件 $G$ 为互斥事件 C、事件 $E$ 与事件 $G$ 相互独立 D、事件 $G$ 与事件 $H$ 相互独立

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13、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a^{2} + b^{2} + a b = c^{2}$ ，若角 $C$ 的内角平分线 $C M = 2$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{C B}$ 的最小值为（）

A、8 B、4 C、16 D、12

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14、已知 $\vec{n_{1}} = (- 1, 9, 1), \vec{n_{2}} = (m, - 3, 2), \vec{n_{3}} = (0, 2, 1)$ ，若 $\{\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}, \vec{n_{3}}\}$ 不能构成空间的一个基底，则 $m =$ （）

A、3 B、1 C、5 D、7

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15、某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为 $\frac{3}{4}$ ，在实验操作中结果为优秀的概率为 $\frac{2}{3}$ ，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（）

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{1}{3}$

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16、被誉为“湖北乌镇，荆门丽江”的莫愁村，位于湖北省钟祥市.高高的塔楼，是整个莫愁村最高的建筑，登楼远跳，可将全村风景尽收眼底.塔楼的主体为砖石砌成的正四棱台，如图所示，上底面正方形的边长约为8米，下底面正方形的边长约为12米，高约为15米，则塔楼主体的体积（单位：立方米）约为（）

A、2400 B、1520 C、1530 D、2410

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17、平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}, \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示 $\vec{B O}$ ，则（）

A、 $\vec{B O} = \vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\vec{B O} = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ C、 $\vec{B O} = - \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\vec{B O} = - \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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18、已知复数 $(1 + i) (2 + m i)$ 在复平面内对应的点位于第二象限，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2)$ D、 $(- 2, 2)$

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19、已知 $y = - 3 x^{2} + a (6 - a) x + 12$ .
（1）若不等式y＞b的解集为(0，3)，求实数a，b的值；
（2）若a＝3时，对于任意的实数x，都有 $y \leq 3 x + 9 m^{2} - 6 m$ ，求m的取值范围.

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20、一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的 $\frac{5}{4}$ 快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为米．

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