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相关试卷

1、已知曲线 $C_{1} : y = e^{x}$ ，直线 $C_{2} : y = x + m$ .

(1)、若 $m = 1$ ，判断直线 $C_{2}$ 与曲线 $C_{1}$ 公共点的个数；

(2)、已知直线 $C_{2}$ 与曲线 $C_{1}$ 相交于 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 两点.
①求 $m$ 的取值范围；
②证明： $x_{1} x_{2}^{2} + x_{1}^{2} x_{2} > 0$ .

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2、已知12名运动员中有5人只擅长篮球，4人只擅长足球，另外3人篮球与足球都擅长.

(1)、若从这12名运动员中选派2人，求这2人都擅长足球的选派方法种数；

(2)、若让这12名运动员中所有擅长篮球的运动员排成一排拍照，求其中还擅长足球的运动员互不相邻的排法种数；

(3)、从这12名运动员中选派4人参加某项活动，要求这4人有2人擅长篮球，有2人擅长足球，求满足条件的选派方法种数.

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 3 n^{2} + 2^{n + 1}$ .

(1)、求 $a_{1}$ ；

(2)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式，并证明 $\{a_{n + 1} - 2^{n + 1}\}$ 为等差数列；

(3)、若 $b_{n} = \frac{1}{(2 n + 1) (a_{n} - 2^{n})}$ ，求 $b_{2} + b_{3} + \dots + b_{100}$ .

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4、已知函数 $f (x) = 6 x + 2 \cos x - 1$ .

(1)、求 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (π + Δ x) - f (π)}{Δ x}$ ；

(2)、若函数 $g (x) = x f (x) + 1$ ，求曲线 $y = g (x)$ 在点 $(0, g (0))$ 处的切线方程.

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5、将2个i，2个n，2个o与1个p随机排成一排，得到一个字母串，则所得字母串恰为单词opinion的概率为.

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6、若点 $A (0, 2, 0)$ ， $B (1, 3, - 1)$ ，平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (1, 2, - 2)$ ，则直线 $A B$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值为.

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7、下列判断正确的是（）

A、方程 $(x - \ln x) (x - \ln x - 1) = 0$ 有两个不同的实数解 B、方程 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} = 10$ 的正整数解共有126组 C、方程 $x e^{x} - \ln x - x - 1 = 0$ 有唯一实数解 D、方程 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} = 10$ 的非负整数解共有3003组

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8、已知点 $E (- 2, 0), F (2, 0), A (- 3, 0), B (3, 0), M (4, 0), N (- 4, 0)$ ，点 $P$ 在曲线 $C : (\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} - 1) (\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} - 1) = 0$ 上，则（）

A、曲线 $C$ 由虚轴长相等的两条双曲线组成 B、存在无数个点 $P$ ，使得 $|P A| - |P B| = 4$ C、存在无数个点 $P$ ，使得 $|P M| - |P N| = - 4$ D、存在8个点 $P$ ，使得 $|P E| + |P F| = 4 \sqrt{2}$

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9、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x + \frac{π}{18})$ 为奇函数，且 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象关于点 $(\frac{2π}{9},0)$ 对称， $f^{'} (x) = 3 f (x + \frac{π}{6})$ ，且 $f (\frac{π}{9}) = 1$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{35 π}{18}, f (\frac{35 π}{18}))$ 处的切线斜率为（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- 3$ D、3

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10、若 $A$ ， $B$ ， $C$ 是圆 $D : x^{2} + 2 x + y^{2} + 4 y - 10 = 0$ 上不同的三点，且 $\tan ∠ A B C = \frac{1}{2}$ ，则 $A C =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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11、已知下列四个图象之一是函数 $f (x)$ 在某区间的图象，且 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 在该区间的图象如图所示，则 $f (x)$ 在该区间的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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12、若函数 $f (x) = \frac{3}{8} x^{3} - 3 a x^{2} + 8 x - 1$ 有极值，则a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2] \cup [2, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1] \cup [1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$

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13、现有一组数据1.3，1.2，1.2，1.4，1.6，1.3，1.1，则这组数据的 $60 %$ 分位数为（）

A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.6

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14、设集合 $A = \{x ∣ 3^{x} < 1\}$ ， $B = {x ∣ y = \lg (x + 3)}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(- 3, 0)$ C、 $[- 3, 0)$ D、 $(- 3, 1)$

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15、已知函数 $f (x) = x^{3} - 2 \sqrt{2} x + 1$ ，若过点 $(0, 1)$ 的两条互相垂直的直线分别与 $f (x)$ 的图象交于另外的点 $A, C$ 和 $B, D$ ，且四边形ABCD为正方形，则这两条直线的斜率之和为．

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16、若命题 $p : k < 2$ ，命题 $q :$ 直线 $y = k x - 1$ 与抛物线 $y = x^{2}$ 无公共点，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、设函数 $f (x) = x {(\ln x)}^{2} - (a + 2) x \ln x + (a + 3) x, a > 0$ ．

(1)、 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(e, f (e))$ 处的切线方程；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，证明： $\frac{f (x_{1})}{x_{1}} - \frac{f (x_{2})}{x_{2}} < \frac{4 (x_{2} - e) \ln x_{1}}{e}$ ．

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18、已知函数 $f (x) = e^{x}$ ，点 $P_{n} (a_{n}, b_{n}) (n \in N^{*})$ 均为曲线 $y = f (x)$ 图象上的点，且 $a_{n} \neq 0$ ， $a_{n + 1} + a_{n} = 6 n + 3$ ， $a_{n + 1} > a_{n}$ .

(1)、当 $a_{1} \neq 3$ 时，证明： $\{a_{n} - 3 n\}$ 是等比数列；

(2)、求 $b_{1}$ 的取值范围；

(3)、证明：直线 $P_{n} P_{n + 1}$ 的斜率随 $n$ 的增大而增大.

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19、已知函数 $f (x) = a e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - x$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上的最值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间．

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20、甲、乙、丙做 $A, B, C, D$ 四项工作，每项工作只需且必须有1人完成，每人至少完成1项工作．

(1)、共有多少种不同的情况；

(2)、求甲做 $A$ 工作的概率．

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