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相关试卷

1、牛顿法是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设 $x = r$ 是函数 $y = f (x)$ 的零点，即 $f (r) = 0$ ．选取 $x_{0}$ 作为 $r$ 的初始近似值，过点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $L$ ， $L$ 的方程为 $y = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})$ ，若 $f^{'} (x_{0}) \neq 0$ ，则直线 $L$ 与 $x$ 轴的交点的横坐标记为 $x_{1}$ ，再过点 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线，并求出切线与 $x$ 轴的交点的横坐标记为 $x_{2}$ ，重复以上过程，得 $r$ 的近似值序列 $\{x_{n}\}$ ： $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}$ ，也称为牛顿数列，根据已有精确度 $ε$ ，当 $|x_{n} - x_{n - 1}| < ε$ 时，则 $x_{n}$ 为近似解．

(1)、设 $f (x) = x^{3} + x^{2} + 1$ ，当 $x_{0} = - 1$ 时，试用牛顿法求方程 $f (x) = 0$ 满足精确度 $ε = 0.5$ 的近似解（保留两位小数）；

(2)、设 $f (x) = x^{2} + a x + b (a, b \in R)$ 的两个零点分别为 $α, β (α < β)$ ，数列 $\{x_{n}\}$ 为函数 $f (x)$ 的牛顿数列，若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = ln \frac{x_{n} - α}{x_{n} - β} (n \in N^{*})$ ， $a_{1} = 2, x_{n} > β$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 通项公式；

(3)、设 $f (x) = x + ln x$ ，若 $x_{n + 1} = g (x_{n}), h (x) = - (x + 1) g (x) - ln x + e^{x} - e^{- x}$ ，函数 $h (x)$ 的最小值为 $m$ ，证明： $m < \sqrt{e} - \frac{3}{4}$ ．

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2、为了研究广告支出与销售额的关系，现随机抽取5家超市作为样本，得到其广告支出x（单位：万元）与销售额W（单位：万元）数据如下：
超市
A
B
C
D
E
广告支出x
1
2
3
4
5
销售额W
4
9
14
18
$m (m > 0)$

(1)、当 $m = 20$ 时，根据表中样本数据，计算相关系数r，并推断它们的相关程度（保留两位小数）；

(2)、根据表中样本数据，用最小二乘法得到销售额W关于广告支出x的回归直线方程为 $W = \hat{b} x - 1.3$ ，销售额W的方差为52.4，求 $\hat{b}$ 的值，并计算广告支出为5（万元）时销售额的残差；

(3)、收集更多变量 $W$ 和 $x$ 的成对样本数据，由一元线性回归模型 $\{\begin{array}{l} W = b x + a + e, \\ E (e) = 0, D (e) = σ^{2} \end{array}$ 得到经验回归模型 $W = \hat{b} x + \hat{a}$ ，对应的残差如图所示，则模型误差是否满足一元线性回归模型的 $E (e) = 0$ 与 $D (e) = σ^{2}$ 的假设（直接写出结果）．
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，回归系数 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ，参考数据： $\sqrt{1720} \approx 41.5$ ．

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3、已知函数 $f (x) = a e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a > 0$ 时，证明： $f (x) \geq 2 - \frac{2}{a}$ ．

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $a_{1} = 1$ ，且满足 $a_{n + 1} - a_{n} = n + 1, n \in N^{*}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n}} < \frac{9}{5}$ ，求满足条件的最大整数 $n$ ．

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5、一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台．

(1)、若每次从中随机抽取1台，抽取后不再放回，则在第一次抽到A品牌的条件下，第二次抽到B品牌的概率；

(2)、若从中随机抽取2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列和期望．

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6、甲、乙、丙三人相互做传球训练，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的两个人．第一次传球由甲手中传出，第n次传球后，球在甲手中的概率记为 $p (n)$ ，请写出 $p (n + 1)$ 与 $p (n)$ 关系式．

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7、计算： $A_{5}^{3} - A_{4}^{2} =$ ．

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8、我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的说法正确的是（）

A、第6行从左到右第4个数是20 B、第2022行的第1011个数最大 C、210在杨辉三角中共出现了6次 D、记第 $n$ 行的第 $i$ 个数为 $a_{i}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n + 1} 2^{i - 1} a_{i} = 3^{n}$

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9、已知函数 $f (x) = x^{2} + a ln (x + 1)$ ，下列正确的是（）

A、当 $a = 0$ 时， $f (x)$ 的图象关于点 $(0, 0)$ 对称 B、当 $a = 1$ 时， $\forall x \in (0, + \infty), f (x) > 0$ 恒成立 C、若函数 $f (x)$ 在 $(- 1, + \infty)$ 上有两个不同的极值点，则 $a \in (0, \frac{1}{2})$ D、若函数 $f (x)$ 在 $(- 1, + \infty)$ 上有两个零点，则 $a \in (- \infty, 0)$

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10、李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布， $X ~ N (μ_{1}, 6^{2})$ ， $Y ~ N (μ_{2}, 2^{2})$ ． X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列正确的是（）
（参考数据： $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ）

A、 $μ_{1} > μ_{2}$ B、 $P (X \leq 38) < P (Y \leq 38)$ C、 $P (12 \leq X \leq 42) > P (28 \leq Y \leq 38)$ D、为了保证84.135%的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留36分钟时间

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11、已知函数 $f (x) = - \frac{x}{e^{x}}$ ，若 $0 < a < 1, 0 < b < 1$ 且满足 $a e^{a + 1} = b e^{b}$ ，则（）

A、 $f (a) > f (b)$ B、 $f (a) < f (b)$ C、 $f (a) = f (b)$ D、 $f (a), f (b)$ 的大小关系不能确定

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12、如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O处出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动5次，则质点位于 $- 1$ 的位置的概率为（）

A、 $\frac{5}{32}$ B、 $\frac{5}{16}$ C、 $\frac{5}{8}$ D、 $\frac{1}{4}$

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13、为了解性别（变量x）与体育锻炼（变量y）是否有关，采取简单随机抽样的方法抽取50名学生，得到成对样本观测数据的分类统计结果，如表所示（单位：人），根据数据计算，并依据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $P (χ^{2} \geq 7.879) = 0.005$ ，下列结论不正确的是（）
锻炼
合计
不经常
经常
女生
15
5
20
男生
10
m
n
合计
25
25
50

A、 $m = 20$ B、若从这50人中随机抽取1人，则经常锻炼的概率为 $\frac{1}{2}$ C、变量x与变量y独立，此推断犯错误的概率不超过0.005 D、变量x与变量y不独立，此推断犯错误的概率不超过0.005

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14、用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（）

A、36 B、48 C、60 D、72

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15、 $(x - y) {(x + y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3} y^{3}$ 的系数为（）

A、0 B、10 C、 $- 20$ D、20

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16、下列函数求导正确的是（）

A、 $y = π^{2}, y^{'} = 2 π$ B、 $y = {log}_{2} x, y^{'} = \frac{1}{x}$ C、 $y = e^{- 2 x}, y^{'} = - 2 e^{- 2 x}$ D、 $y = cos \frac{x}{3}, y^{'} = - sin \frac{x}{3}$

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17、已知两个等差数列 $2, 6, 10, \cdot \cdot \cdot, 190$ 及 $2, 8, 14, \cdot \cdot \cdot, 200$ ，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列 $\{b_{n}\}$ ，则 $b_{5} =$ （）

A、45 B、50 C、54 D、60

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18、已知离散型随机变量 $X$ 的方差为1，则 $D (2 X - 1) =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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19、在数字通信中，信号是由0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为 $p$ 和 $1 - p$ （ $0 < p < 1$ ）；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为 $q$ 和 $1 - q$ （ $0 < p < 1$ ）．假设发送信号0和1是等可能的．

(1)、若 $p = q = \frac{1}{2}$ ，现发送信号3次，记其中接收为正确信号的次数为 $Z$ ，求 $Z$ 的数学期望 $E (Z)$ 和方差 $D (Z)$ ；

(2)、随机变量 $M$ 的分布列为 $P (M = m_{i}) = p_{i} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$ ，记事件 $M = m_{i}$ （ $i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n$ ）发生后给我们的信息量为 $X = - {log}_{4} p_{i}$ ，则称 $H (M) = - \sum_{i = 1}^{n} p_{i} {log}_{4} p_{i}$ （ $i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n$ ）为 $M$ 的信息熵．设发送信号1次，接收为正确信号的次数为 $M_{1}$ ，求 $M_{1}$ 的信息熵 $H (M_{1})$ 的最大值；

(3)、若 $p = q = \frac{1}{2}$ ，发送信号 $n$ 次，设 $X$ 为出现0的总次数， $Y$ 为第 $n$ 次出现1的次数（0或1次），记 $p (x_{1}, y_{1})$ 表示发送信号 $n$ 次，0恰好出现 $x_{1}$ 次且第 $n$ 次出现1的次数为 $y_{1}$ 的概率，如 $n = 4$ 时， $p (0, 1) = \frac{1}{16}$ ．对于随机变量 $X, Y$ ，记其合并熵为 $H (X, Y) = - [(\sum_{x_{i} = 1}^{n} p (x_{i}, 0)) {log}_{4} p (x_{i}, 0) + \sum_{x_{i} = 1}^{n} p (x_{i}, 1) {log}_{4} p (x_{i}, 1)]$ ，且 $\sum_{x_{i} = 1}^{n} p (x_{i}, 0) + \sum_{x_{i} = 1}^{n} p (x_{i}, 1) = 1$ ．证明：当 $n > 3$ 时， $H (X, Y) < \frac{n}{2} - \frac{1}{2^{n - 1}}$ ．

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20、树人中学篮球训练营有一项三人间的传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记n次传球后球在甲手中的概率为 $P_{n}$ ， $n = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot$

(1)、写出 $p_{1}$ ， $p_{2}$ ， $p_{3}$ 的值；

(2)、求 $p_{n + 1}$ 与 $P_{n}$ 的关系式 $(n \in N^{*})$ ，并求 $P_{n}$ ；

(3)、第1次仍由甲将球传出，若首次出现连续两次球没在甲手中，则传球结束，记此时的传球次数为X，求X的期望．

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	锻炼		合计
	不经常	经常	合计
女生	15	5	20
男生	10	m	n
合计	25	25	50

超市	A	B	C	D	E
广告支出x	1	2	3	4	5
销售额W	4	9	14	18	$m (m > 0)$