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相关试卷

1、若3+2i是关于x的方程2x²+px+q=0的一个根，则q的值是.

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2、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 1$ ， $A B = B C = \sqrt{3}$ ， $\cos ∠ A B C = \frac{1}{3}$ ，点D是 $A_{1} C_{1}$ 的中点，点P为线段 $A_{1} B$ 上的一个动点，下列说法正确的是（）

A、平面 $B_{1} C D$ 与底面ABC的交线平行于 $B_{1} D$ B、三棱锥 $P - B_{1} C D$ 的体积为定值 C、直线 $A_{1} B$ 与直线CD可能相交 D、 $A P + P C_{1}$ 的最小值为 $\sqrt{7}$

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3、欧拉公式： $e^{i θ} = cosθ + i sinθ (i$ 是虚数单位， $e = 2.718 \dots$ ， $θ \in R)$ 是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令 $θ = π$ 可得 $e^{i π} + 1 = 0$ .它又将自然界中的两个重要的无理数 $π$ 和 $e$ 、实数单位 $1$ 、虚数单位 $i$ 以及复数中的 $0$ 巧妙地结合在一起 $.$ 被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等 $.$ 下列关于欧拉公式的叙述正确的有（）

A、 $e^{2025 π i} - 1 = 0$ B、复数 $e^{3 i}$ 对应的点位于第二象限 C、 $|e^{x i}| = 1$ D、 $\bar{(e^{i θ})} = e^{\bar{i θ}}$

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4、在锐角 $△ A B C$ 中，A，B，C的对边分别是a，b，c，若 $c = b (1 + 2 cos A)$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的取值范围是（）

A、 $(1, \sqrt{3})$ B、 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ C、 $(\sqrt{2}, 2)$ D、 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

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5、如图，两个底面半径相同的圆锥组合的一个几何体，若底面圆的半径为1，两个圆锥的母线长分别为 $2, \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则该几何体内切球的半径为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $\sqrt{3} - 1$

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6、陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示， $P$ 为圆锥的顶点， $A$ ， $B$ 分别为圆柱上、下底面圆的圆心，若圆锥的底面周长为 $6 π$ ，高为3，圆柱的母线长为4，则该几何体的表面积为（）

A、 $(33 + 9 \sqrt{2}) π$ B、 $(24 + 9 \sqrt{2}) π$ C、 $(33 + 18 \sqrt{2}) π$ D、 $(24 + 18 \sqrt{2}) π$

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7、 $(1 - 5 i) (4 + 3 i)$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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8、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为直角梯形，侧面PCD为正三角形，且平面PCD $⊥$ 平面ABCD， $A D // B C$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A D = A B = 1$ ， $B C = 2$ .

(1)、证明： $P C ⊥ B D$ .

(2)、已知Q为侧棱PB上一点， $P D //$ 平面QAC.
①求 $\frac{P Q}{P B}$ 的值；
②求直线DQ与平面QAC所成角的正弦值.

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9、已知函数 $f (x) = (x + a) e^{x}$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得极值，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x) < e^{2 x}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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10、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 3 n^{2} + k n + k$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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11、已知函数 $f (x) = 9 \ln x + \frac{5}{x} + 2 x + 7$ ，则函数 $f (x)$ 的最小值为；若过原点可向曲线 $y =$ $f (x) - \frac{1}{2 x} + a$ 作两条切线，则a的取值范围是.（注：当 $x \to 0$ 时， $\ln x + \frac{1}{x} \to + \infty$ ）

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12、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (3, λ)$ ，若 $(\vec{b} - \vec{a}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $\cos 〈 \vec{a}, \vec{b} 〉 =$ .

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13、椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ 的两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，椭圆C上有一点P，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为.

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14、若函数 $f (x) = \sin x + a \cos x$ 图象的一条对称轴方程为 $x = \frac{2 π}{3}$ ，则（）

A、 $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $a = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $f (x)$ 图象的一条对称轴为直线 $x = - \frac{π}{3}$ D、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{3}, \frac{5 π}{6})$ 上单调递增

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15、若 ${(2 x - 1)}^{9} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + \dots + a_{9} {(x + 1)}^{9}$ ，则（）

A、 $a_{0} = - 3^{9}$ B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{9} = 3^{9} - 1$ C、 $a_{5} = - 7 \times 6^{6}$ D、 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \dots + \frac{a_{9}}{2^{9}} = 3^{9} - 2^{9}$

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16、某地种植的新品种哈密瓜获得了丰收，随机从采摘好的哈密瓜中挑选了100个称重（单位：kg），并整理数据，得到如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下面结论正确的是（）

A、 $m = 0.1$ B、估计该哈密瓜的质量不低于1.6kg的比例为 $30 %$ C、估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于1.4kg至1.6kg之间 D、估计该哈密瓜的质量的中位数介于1.5kg至1.6kg之间

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17、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2 a x - 2, x < 1 \\ a^{x}, x \geq 1 \end{cases}$ 满足 $\forall x_{1}, x_{2} \in R$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ， $(x_{2} - x_{1}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] < 0$ ，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(1, 2]$ D、 $(0, 1) \cup (1, + \infty)$

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18、某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点F处，已知卫星接收天线的口径（直径）为10m，深度为3m，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线焦点到顶点的距离为（）

A、 $\frac{5}{3} m$ B、 $\frac{25}{12} m$ C、 $\frac{25}{6} m$ D、 $\frac{5}{4} m$

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19、已知 $\tan (\frac{π}{4} - α) = - \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{\sin 2 α + 2}{3 - \cos^{2} α} =$ （）

A、 $- \frac{13}{14}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{26}{29}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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20、直线 $l : 3 x + 4 y + 1 = 0$ 被圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 4 = 0$ 截得的弦长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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