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相关试卷

1、函数 $f (x) = {log}_{3} (a^{x} - 2^{- x})$ （ $a > 1$ ），若 $f (x) > 1$ 在 $[1, + \infty)$ 上恒成立，则 $a$ 的取值范围是.

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2、双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的一条渐近线的斜率为 $k$ ，若 $0 < k < 1$ ，则 $a$ 的值可能为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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3、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为（）

A、9 B、8 C、7 D、6

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4、已知函数 $f (x) = x^{2} - a e^{x} + 1$ 有两个极值点，则实数a的取值范围是（）

A、 $a \leq 0$ B、 $0 < a < \frac{2}{e}$ C、 $0 < a \leq \frac{2}{e}$ D、 $a \geq \frac{2}{e}$

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5、下列选项中正确的是（）

A、若 $a c > b c$ ，则 $a > b$ B、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$ C、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$

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6、设函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A ＞ 0 ， ω ＞ 0 ， |φ| ＜ \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则f（0）＝

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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7、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 2 x - 3 ln x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、求不等式 $f (x) \geq 2 {(x - 1)}^{2} + \frac{5}{2}$ 的解集．

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8、甲、乙两人玩掷骰子游戏，规则如下：每人各掷骰子两次，以两次骰子的点数之和作为投掷者的得分，若得分不同，得分多的一方获胜，若得分相同视为平局，则甲获胜的概率为.

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9、若 $z = - 1 + \sqrt{3} i$ ，则 $\frac{z}{z \bar{z} - 1} =$ .

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10、已知 $l$ 为抛物线 $y = x^{2}$ 的切线，且 $l$ 交圆 $M : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 于 $A, B$ 两点，则 $|A B|$ 的最大值是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{13}$ C、 $\sqrt{15}$ D、4

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11、已知 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f^{'} (x)$ 不是常函数，则命题“ $f (x)$ 是周期函数”是“ $f^{'} (x)$ 是周期函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、2025年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学.某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况种数是（）

A、12 B、9 C、6 D、15

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13、已知 $\sin (α - β) = n$ ， $\tan α = 3 \tan β$ ，则 $\sin (α + β) =$ （）

A、 $- 2 n$ B、 $- \frac{n}{2}$ C、 $\frac{n}{2}$ D、 $2 n$

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14、在 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{2} x)}^{n}$ 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中 $x^{6}$ 的系数是（）

A、 $\frac{45}{4}$ B、 $- \frac{35}{8}$ C、 $\frac{35}{8}$ D、7

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15、已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2 \sqrt{3}$ ， $\vec{b} \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = 18$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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16、在数字通信中，信号是由0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为 $p$ 和 $1 - p$ （ $0 < p < 1$ ）；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为 $q$ 和 $1 - q$ （ $0 < p < 1$ ）．假设发送信号0和1是等可能的．

(1)、若 $p = q = \frac{1}{2}$ ，现发送信号3次，记其中接收为正确信号的次数为 $Z$ ，求 $Z$ 的数学期望 $E (Z)$ 和方差 $D (Z)$ ；

(2)、随机变量 $M$ 的分布列为 $P (M = m_{i}) = p_{i} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$ ，记事件 $M = m_{i}$ （ $i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n$ ）发生后给我们的信息量为 $X = - {log}_{4} p_{i}$ ，则称 $H (M) = - \sum_{i = 1}^{n} p_{i} {log}_{4} p_{i}$ （ $i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n$ ）为 $M$ 的信息熵．设发送信号1次，接收为正确信号的次数为 $M_{1}$ ，求 $M_{1}$ 的信息熵 $H (M_{1})$ 的最大值；

(3)、若 $p = q = \frac{1}{2}$ ，发送信号 $n$ 次，设 $X$ 为出现0的总次数， $Y$ 为第 $n$ 次出现1的次数（0或1次），记 $p (x_{1}, y_{1})$ 表示发送信号 $n$ 次，0恰好出现 $x_{1}$ 次且第 $n$ 次出现1的次数为 $y_{1}$ 的概率，如 $n = 4$ 时， $p (0, 1) = \frac{1}{16}$ ．对于随机变量 $X, Y$ ，记其合并熵为 $H (X, Y) = - [(\sum_{x_{i} = 1}^{n} p (x_{i}, 0)) {log}_{4} p (x_{i}, 0) + \sum_{x_{i} = 1}^{n} p (x_{i}, 1) {log}_{4} p (x_{i}, 1)]$ ，且 $\sum_{x_{i} = 1}^{n} p (x_{i}, 0) + \sum_{x_{i} = 1}^{n} p (x_{i}, 1) = 1$ ．证明：当 $n > 3$ 时， $H (X, Y) < \frac{n}{2} - \frac{1}{2^{n - 1}}$ ．

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17、树人中学篮球训练营有一项三人间的传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记n次传球后球在甲手中的概率为 $P_{n}$ ， $n = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot$

(1)、写出 $p_{1}$ ， $p_{2}$ ， $p_{3}$ 的值；

(2)、求 $p_{n + 1}$ 与 $P_{n}$ 的关系式 $(n \in N^{*})$ ，并求 $P_{n}$ ；

(3)、第1次仍由甲将球传出，若首次出现连续两次球没在甲手中，则传球结束，记此时的传球次数为X，求X的期望．

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18、设 $C_{20}^{1} \cdot 2 + C_{20}^{2} \cdot 2^{2} + \cdot \cdot \cdot + C_{20}^{20} \cdot 2^{20}$ 被9除所得的余数为m，则 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{m}$ 的展开式中的常数项为．

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19、给出下列说法，其中正确的有（）

A、随机变量 $X \sim B (n, p)$ ，若 $E (X) = 60, D (X) = 20$ ，则 $p = \frac{2}{3}$ B、随机变量 $X \sim N (1, σ^{2})$ ，若 $P (X > 1.5) = 0.34$ ，则 $P (X < 0.5) = 0.34$ C、一组数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = 4 x + 5$ ，若 $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} = 30$ ，则 $\bar{y} = 25$ D、对于独立性检验，随机变量 $χ^{2}$ 的观测值越大，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大

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20、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (2 - x) = 0$ ， $f (1 + x) = f (3 - x)$ ，当 $x \in [1, 2]$ 时， $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x$ ，则方程 $3 f (x) + x - 1 = 0$ 的根个数为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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