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相关试卷

1、

(1)、若 $θ$ 为 $△ A B C$ 的一个内角，且关于x的方程 $5 x^{2} + x + m = 0$ 的两根为 $\sin θ$ ， $\cos θ$ ．求 $\tan θ$ 的值，并判断 $△ A B C$ 的形状．

(2)、是否存在角 $α$ 和 $β$ ，当 $α \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ， $β \in (0, π)$ 时，方程组 $\{\begin{cases} \sin (2025 π - α) = \sqrt{2} \cos (\frac{2025 π}{2} - β) \\ \sqrt{3} \cos (2026 π - α) = - \sqrt{2} \cos (10001 π + β) \end{cases}$ 有解？若有解，则求出 $α$ 和 $β$ 的值；若无解，请说明理由．

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2、已知函数 $f (x) = \sin x - x \cos x + a x$ ， $x \in (0, π)$ .

(1)、若 $a = 0$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{π}{2}, 1)$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) > 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $a = - 1$ ，证明： $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上有且只有一个零点.

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3、已知平面四边形 $A B C D$ 中， $A D$ $∥$ $B C, B C ⊥ C D$ ，且 $A D = C D = \frac{\sqrt{2}}{2} A B = 2$ ．以 $A D$ 为腰作等腰直角三角形 $P A D$ ，且 $P A = A D$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$

(1)、证明： $A B ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、已知点 $M$ 是线段 $P D$ 上一点，
①若 $P B$ $∥$ 平面 $M A C$ ，求点 $M$ 到平面 $P B C$ 的距离；
②若直线 $B M$ 与平面 $A B C D$ 夹角的正弦值是 $\frac{\sqrt{14}}{14}$ ，求二面角 $B - A M - C$ 的正弦值．

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4、中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程.

(1)、若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数；

(2)、现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；

(3)、计划安排 $A, B, C, D, E$ 五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师 $A$ 不任教“围棋”课程，教师 $B$ 只能任教一门课程，求所有课程安排的种数.

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5、已知空间四点 $A (0, 2, 3), B (2, - 2, - 1), C (1, 4, 3), D (- 1, 3, λ)$ ．

(1)、求以 $A B, A C$ 为邻边的平行四边形面积；

(2)、若 $A ､ B ､ C ､ D$ 四点共面，求 $λ$ 的值；

(3)、求直线AB和直线CD夹角余弦值的取值范围．

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6、已知函数 $f (x) = (x^{2} - a x - a) e^{x}$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线垂直于直线 $2 x + y + 1 = 0$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的极值．

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7、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ P B, P A = P B, A B = 4, B C = 1$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的体积的最大值为；二面角 $P - A C - B$ 的正弦值的最小值为．

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8、设 $f^{'} (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是函数 $y = f^{'} (x)$ 的导函数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x = x_{0}$ ，则称 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”．经研究发现所有的三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ 都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 $y = f (x)$ 图象的对称中心．若函数 $f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ ，则 $f (\frac{1}{2025}) + f (\frac{2}{2025}) + \dots + f (\frac{2025}{2025}) =$ ．

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9、若函数 $f (x) = 2 e^{2 x} + 1$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, 3)$ 处的切线方程为．

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10、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ ，直线 $y = a$ 与函数 $f (x)$ 的图像有3个不同的交点，3个交点的横坐标分别为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $a \in (0, 4)$ B、过点 $(0, 4)$ 作函数 $f (x)$ 的切线，有且只有三条 C、若 $m + n = 2$ ，则有 $f (m) + f (n) = 4$ D、 $x_{1} x_{2} x_{3} = a - 4$

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11、下列说法正确的是（）

A、 $A_{n + 2}^{n + 2} - A_{n + 1}^{n + 1} = {(n + 1)}^{2} A_{n}^{n}$ B、将9个团员指标分到某年级的3个班，每班要求至少得2个，有15种不同的分配方法 C、某同学把英文单词“apple”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种 D、 $C_{n}^{5 - n} + C_{n + 1}^{9 - n} = 5$

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12、关于空间向量，以下说法正确的是（）

A、空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B、若 $< \vec{a}, \vec{b} >$ 是锐角，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ C、已知 $\vec{A B} = (- 1, \frac{1}{2}, 0)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{m} = (1, 2, 1)$ ，则 $A B ∥ α$ D、已知向量组 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一个基底，则 $\{2 \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} - \vec{a}\}$ 也是空间的一个基底

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13、设函数 $f (x) = e^{x} (2 x - 1) - 3 a x + 3 a$ ，其中 $a < 1$ ，若存在唯一的整数 $x_{0}$ 使得 $f (x_{0}) < 0$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2 e}, \frac{1}{3})$ B、 $[\frac{3}{2 e}, 1)$ C、 $[\frac{4 \sqrt{e}}{3 e}, 1)$ D、 $[\frac{3}{4 e}, \frac{1}{3})$

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14、设 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 定义在 $(0, + \infty)$ 上的导函数，满足 $x f^{'} (x) + 2 f (x) = e^{x}$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{f (e)}{e^{2}} > \frac{f (e^{2})}{e}$ B、 $\frac{f (2)}{9} > \frac{f (3)}{4}$ C、 $\frac{f (e)}{e^{2}} < \frac{f (3)}{9}$ D、 $\frac{f (2)}{e^{2}} < \frac{f (e)}{4}$

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15、毕业前夕，某高中高三（6）班科技创新兴趣小组的5名同学与1名辅导老师，共6人合影留念，站成前后相对应的两排，每排3人，老师站在前排中间，其中甲、乙两名同学不相邻（相邻仅包括正前后或左右），则不同站法种数为（）

A、96 B、84 C、72 D、48

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16、已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - t x^{2} + 3 x$ 在区间 $[1, 3]$ 上单调递减，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{9}{2}, + \infty)$ B、 $[\frac{19}{2}, + \infty)$ C、 $[3 \sqrt{2}, + \infty)$ D、 $(\frac{9}{2}, + \infty)$

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17、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1, 1), \vec{b} = (1, x, 1), \vec{c} = (1, - 2, - 1)$ ，当 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ 时，向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{c}$ 上的投影向量为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $- \sqrt{6}$ C、 $- \sqrt{6} \vec{c}$ D、 $- \vec{c}$

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18、自然对数 $e$ 也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一， $e$ 的近似值约为 $2.7182818 \dots$ ，若用欧拉数的其中 $6$ 位数字 $1, 8, 2, 8, 1, 8$ 设置一个 $6$ 位数的密码，则不同的密码有（）个

A、 $720$ B、 $180$ C、 $60$ D、 $260$

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19、已知空间向量 $\vec{a} = (2, 1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2, - 2)$ ， $\vec{c} = (7, 6, λ)$ ，若向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 共面，则实数 $λ$ 的值为（）.

A、8 B、9 C、10 D、11

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20、已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = (x^{2} - 3) e^{x} + 2$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、当 $x < 0$ 时， $f (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} - 2$ C、 $f (x) \geq 2$ 当且仅当 $x \geq \sqrt{3}$ D、 $x = - 1$ 是 $f (x)$ 的极大值点

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