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相关试卷

1、我们把 $\cosh x$ 称为双曲余弦函数，其函数表达式为 $\cosh x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，相应地双曲正弦函数的函数表达式为 $\sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ .若直线 $x = m$ 与双曲余弦函数曲线 $C_{1}$ 和双曲正弦函数曲线 $C_{2}$ 分别相交于点A，B，曲线 $C_{1}$ 在点A处的切线与曲线 $C_{2}$ 在点B处的切线相交于点P，则（）

A、 $y = \sinh x \cosh x$ 是奇函数 B、 $\cosh (x + y) = \cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y$ C、 $| B P |$ 在区间 $(- \infty, 0)$ 上随m的增大而减小，在区间 $(0, + \infty)$ 上随m的增大而增大 D、 $△ P A B$ 的面积为定值

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2、已知 $F (2, 0)$ 是抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，过点 $F$ 且倾斜角为135°的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M (x_{1}, y_{1})$ ， $N (x_{2}, y_{2})$ 两点，则（）

A、 $p = 2$ B、 $y_{1} y_{2} = - 16$ C、 $|M N| = 16$ D、以 $M N$ 为直径的圆与抛物线C的准线只有1个公共点

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3、下列说法正确的是（）

A、若回归方程为 $\hat{y} = 5 - 3 x$ ，则变量x与y负相关 B、运用最小二乘法求得的经验回归直线方程一定经过样本点的中心 $(\bar{x}, \bar{y})$ C、若散点图中所有点都在直线 $y = 0.92 x - 4.21$ 上，则相关系数 $r = 0.92$ D、若决定系数 $R^{2}$ 的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好

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4、对 $n \in N^{*}$ ，设 $x_{n}$ 是关于x的方程 $n x^{3} + 2 x - n = 0$ 的实数根，数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = \{\begin{cases} 1, n = 1 \\ [(n + 1) x_{n}], n \geq 2, n \in N^{*} \end{cases}$ 其中符号 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $\frac{a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{2025}}{1013} =$ （）

A、1013 B、1015 C、2025 D、2027

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5、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，点 $E$ 为 $A_{1} D_{1}$ 的中点，若点 $E$ ， A，C， $D_{1}$ 都在球O的表面上，则球O的表面积为（）

A、11π B、12π C、36π D、44π

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6、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的焦距为10，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 作斜率不为0的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的左、右支分别交于 $A$ ， $B$ 两点.若 $△ A B F_{2}$ 的内切圆与直线 $l$ 相切于点H，且 $|A H| = 8$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为（）.

A、 $x \pm 4 y = 0$ B、 $4 x \pm y = 0$ C、 $4 x \pm 3 y = 0$ D、 $3 x \pm 4 y = 0$

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7、已知某羽毛球小组共有40名运动员，其中一级运动员8人，二级运动员12人，三级运动员20人.现举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9，0.6，0.3，则这40名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（）

A、0.42 B、0.46 C、0.51 D、0.62

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8、已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\cos α = \frac{3}{5}$ ，则 $\cos (α + \frac{π}{4})$ 的值为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ 或 $- \frac{\sqrt{2}}{10}$

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9、已知平面向量 $\vec{a} = (m, 2)$ ， $\vec{b} = (4, 8)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则实数 $m =$ （）

A、1 B、-1 C、-4 D、4

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10、已知复数 $z$ 满足 $z = 1 + 2 i$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部是（）.

A、2. B、-2. C、2i. D、-2i.

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11、已知集合 $M = \{x \in N |x \leq 2\}$ ， $N = \{x |\frac{x + 6}{x - 2} \leq 0\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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12、如图， $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ 是水平放置的 $△ O A B$ 的直观图，则 $△ O A B$ 的面积为（）

A、6 B、9 C、12 D、15

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13、在三维空间中，单位立方体的顶点坐标可用三维坐标 $(a_{1}, a_{2}, a_{3})$ 表示，其中 $a_{i} \in \{0, 1\} (1 \leq i \leq 3, i \in N)$ .而在 $n$ 维空间中 $(n \geq 2, n \in N)$ ，以单位立方体的顶点坐标可表示为 $n$ 维坐标 $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot, a_{n})$ ，其中 $a_{i} \in \{0, 1\} (1 \leq i \leq n, i \in N)$ .现有如下定义：在 $n$ 维空间中， $P (a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot, a_{n})$ ， $Q (b_{1}, b_{2}, b_{3}, \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot, b_{n})$ 两点的曼哈顿距离为 $|a_{1} - b_{1}| + |a_{2} - b_{2}| + |a_{3} - b_{3}| + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + |a_{n} - b_{n}|$

(1)、在3维单位立方体中任取两个不同顶点，试求所取两点的曼哈顿距离为1的概率；

(2)、在 $n (n \geq 2)$ 维单位立方体中任取两个不同顶点，记随机变量 $X$ 为所取两点间的曼哈顿距离
（i）求出 $X$ 的分布列与期望；
（ii）证明：随机变量 $X$ 的方差小于 $\frac{n}{4}$ .

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14、已知函数 $f (x) = x ln (x + a - 1), g (x) = e^{x} + cos x - 1$ ，其中 $e = 2.718 \dots$ 为自然对数的底数.

(1)、当 $a = 1$ 时，若过点 $(m, m)$ 与函数 $f (x)$ 相切的直线有两条，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $0 \leq a \leq 1$ ，当 $x > 1 - a$ 时，证明： $f (x) < g (x)$ .

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15、已知 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b^{2} + a c = a^{2} + c^{2}$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = 2, △ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $a$ .

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16、已知菱形 $A B C D$ 的边长为2，且 $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，点M，N分别为线段 $A B$ ， $C D$ 上的动点，沿 $D M$ 将 $△ A D M$ 翻折至 $△ A^{'} D M$ ，若点C在平面 $A^{'} D M$ 内的射影恰好落在直线 $D M$ 上，则当线段 $A^{'} N$ 最短时，三棱锥 $A^{'} - C M N$ 的体积为.

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $0 < a_{1} < 1, e^{a_{n + 1}} = (3 - a_{n}) \cdot e^{a_{n}}$ ，则下列说法不正确的是（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 为递减数列 B、存在 $n \in N^{*}$ ，使得 $a_{n} < 0$ C、存在 $n \in N^{*}$ ，使得 $a_{n} > 2$ D、存在 $n \in N^{*}$ ，使得 $a_{n} > \frac{4}{3}$

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18、设随机变量X~N(0，1)， $f (x) = P (X \leq x)$ ，其中x>0，则下列等式成立的有（）

A、f(-x)=1-f(x) B、 $f (2 x) = 2 f (x)$ C、f(x)在(0，+∞)上是单调增函数 D、 $P (|X| \leq x) = 2 f (x) - 1$

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19、已知两个复数 $z_{1}, z_{2}$ 满足 $z_{1} z_{2} = i$ ，且 $z_{1} = 1 - i$ ，则下面选项正确的是（）

A、 $z_{2} = \frac{1 + i}{2}$ B、 $|z_{1}| = \frac{1}{|z_{2}|}$ C、 $|z_{1} + z_{2}| \geq 2$ D、 ${\bar{z}}_{1} {\bar{z}}_{2} = - i$

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点.若 $△ A B F_{1}$ 的内切圆的周长为 $\frac{4 \sqrt{5} π}{9}$ ，则直线 $l$ 的方程是（）

A、 $y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{3}$ 或 $y = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} x$ B、 $y = 3 x - 3$ 或 $y = 3 - 3 x$ C、 $y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ 或 $y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x$ D、 $y = 2 x - 2$ 或 $y = 2 - 2 x$

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