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相关试卷

1、在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 为菱形， $∠ D A B = 60 °$ ， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 2 \sqrt{3}$ ，点 $E$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、求平面 $A E C_{1}$ 和平面 $E C_{1} C$ 夹角的余弦值；

(2)、连接 $E C$ ，若点 $P$ 为线段 $E C$ 上的一动点，当点 $P$ 到直线 $B B_{1}$ 距离最短时，求线段 $D P$ 的长度．

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2、已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = 9$ ，圆 $E$ 的圆心在直线 $y = x + 1$ 上，两圆的公共弦 $A B$ 所在的直线方程为 $x + 2 y - 5 = 0$ ．

(1)、求公共弦 $A B$ 的长度；

(2)、求圆 $E$ 的方程；

(3)、过点 $Q (0, 1)$ 分别作直线 $M N$ ， $R S$ 交圆 $E$ 于 $M$ ， $N$ ， $R$ ， $S$ 四点，且 $M N ⊥ R S$ ，求四边形 $M R N S$ 面积的最大值与最小值．

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3、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ 的一个焦点坐标为 $(3, 0)$ ，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为 $2 \sqrt{2}$ ， $O$ 为坐标原点．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、已知双曲线 $C$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 作斜率为1的直线 $l$ 且与双曲线 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，求 $△ F_{1} M N$ 的面积．

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4、如图，在空间四边形 $O A B C$ 中， $3 \vec{B D} = \vec{D C}$ ，点 $E$ 为 $A D$ 的中点，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ．

(1)、试用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示向量 $\vec{O E}$ ；

(2)、若 $O A = O B = O C = 4$ ， $∠ A O C = ∠ B O C = ∠ A O B = 45 °$ ，求 $\vec{O E} \cdot \vec{B C}$ 的值．

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5、圆形是古代人最早从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的．一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也．意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．现在以点 $(3, 2)$ 为圆心，1为半径的圆上取任意一点 $P (x, y)$ ，若 $|x + 2 y + a| + |4 - x - 2 y|$ 的取值与 $x$ ， $y$ 无关，则实数 $a$ 的取值范围是．

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6、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ ，的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，直线 $l$ 经过点 $F_{2}$ 且与该双曲线的右支交于 $A, B$ 两点，若 $△ A F_{1} B$ 的周长为 $5 a$ ，则该双曲线离心率的取值范围是．

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7、已知曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{m + 1} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ $(m \neq - 1)$ ， $A, B$ 分别为曲线 $C$ 与 $y$ 轴的上、下交点， $P$ 为 $C$ 上任意一点，则（）

A、若 $m = - 2$ ，则 $C$ 为双曲线，且渐近线方程为 $y = \pm 2 x$ B、若 $m \in (- 1, + \infty)$ 时，曲线 $C$ 表示椭圆 C、若 $P$ 不与 $A, B$ 重合，直线 $P A, P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，则 $k_{1} k_{2} = - \frac{4}{m + 1}$ D、当 $m > 3$ 时，若曲线 $C$ 上的任意点 $P$ 都满足 $|P A| \leq 4$ ，则 $C$ 的离心率的取值范围是 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$

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8、以下说法正确的是（）

A、已知空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，向量 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ 是 $\vec{a} = λ \vec{b}$ 的充要条件 B、已知空间向量 $\vec{a} = (x, - 2, 5)$ ， $\vec{b} = (1, y, - 3)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则 $x y = - 2$ C、已知空间向量 $\vec{a} = (1, 0, 1)$ ， $\vec{b} = (2, - 4, 6)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量为 $(4, 0, 4)$ D、平面 $α$ 经过三点 $A (0, - 1, 1)$ ， $B (0, 1, 0)$ ， $C (1, - 2, 0)$ ，向量 $\vec{n} = (a, b, 1)$ 是平面 $α$ 的法向量，则 $a + b = 2$

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9、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = 2$ ， $∠ C A B = 90 °$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ， $O$ 为 $B C$ 的中点， $M$ 为棱 $B_{1} C_{1}$ 上的动点， $N$ 为棱 $A M$ 上的动点，且 $\frac{M N}{M O} = \frac{M O}{M A}$ ，则线段 $M N$ 长度的取值范围为（）．

A、 $[\frac{3 \sqrt{6}}{4}, \sqrt{7}]$ B、 $[\frac{3 \sqrt{5}}{5}, \frac{5 \sqrt{7}}{7}]$ C、 $[\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{4 \sqrt{7}}{7}]$ D、 $[\frac{23}{5}, \frac{47}{7}]$

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10、已知动点 $M$ 在直线 $l_{1}$ ： $x + y - 1 = 0$ 上，动点 $N$ 在直线 $l_{2}$ ： $x + y + 1 = 0$ 上，记线段 $M N$ 的中点为 $P$ ，圆 $C_{1}$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，圆 $C_{2}$ ： ${(x - 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ ， $A$ ， $B$ 分别是圆 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 上的动点．则 $|P A| + |P B|$ 的最小值为（）

A、3 B、 $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{14} - 3$ D、 $\sqrt{13} - 3$

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11、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $y = x$ 与 $C$ 交于点 $M$ ， $N$ ，若四边形 $M F_{1} N F_{2}$ 的面积为 $2 c^{2}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3} - 3}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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12、由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 $\frac{y^{2}}{{\dot{a}}^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ 下支的部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ ，焦距为 $\frac{14}{3}$ ，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{3 \sqrt{3}}{13} x$ B、 $y = \pm \frac{3 \sqrt{66}}{22} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{66}}{9} x$ D、 $y = \pm \frac{13 \sqrt{3}}{9} x$

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13、已知两点 $A (1, 3)$ ， $B (- 2, 5)$ ，直线 $l$ 过点 $P (- 1, 0)$ 且与线段 $A B$ 有交点，则直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围为（）

A、 $\frac{3}{2} \leq k \leq 5$ B、 $k \geq 5$ 或 $k \leq \frac{3}{2}$ C、 $k \geq \frac{3}{2}$ 或 $k \leq - 5$ D、 $- 5 \leq k \leq \frac{3}{2}$

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14、直线 $x + (2 a - 2) y - 1 = 0$ 与 $(a + 1) x - (a - 1) y - 2 = 0$ 平行，则 $a$ 的值为（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $- \frac{3}{2}$ 或1 C、1 D、 $- 2$ 或1

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15、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，则 $\vec{A B} + \vec{B_{1} D_{1}} + \vec{D C} =$ （）

A、 $\vec{A C_{1}}$ B、 $\vec{C A}$ C、 $\vec{A D_{1}}$ D、 $\vec{A C}$

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16、已知动点 $P$ 到 $A (3, 0)$ ， $B (- 3, 0)$ 两点的距离和为8，则点 $P$ 的轨迹为（）

A、线段 B、圆 C、双曲线 D、椭圆

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17、某班有48名学生，其中男生28人，女生20人.按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从该班学生中抽取12人参加跳绳比赛，如果样本按比例分配，则应抽取的男生人数为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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18、如图1，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 2, A D = 1, M$ 为 $D C$ 的中点，将 $△ A D M$ 沿 $A M$ 折起，得到四棱锥 $D_{1} - A B C M$ （如图2），使得平面 $A M D_{1} ⊥$ 平面 $A B C M$ .

(1)、求证： $A D_{1} ⊥ B M$ ；

(2)、求直线 $C D_{1}$ 与平面 $B M D_{1}$ 所成角的正弦值；

(3)、若 $E$ 是线段 $D_{1} B$ 上的一动点，当点 $E$ 在何位置时，二面角 $E - A M - D_{1}$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ？

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19、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + a x - 6 y + 12 = 0$ 关于直线 $x - y + 1 = 0$ 对称.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $3 x + y - 8 = 0$ 与圆 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，求 $|A B|$ ；

(3)、在（2）的前提下，若点 $Q$ 是圆 ${(x + 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 10$ 上的点，求 $△ Q A B$ 面积的最大值.

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20、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a sin B - b cos (A - \frac{π}{6}) = 0.$

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $D$ 为边 $B C$ 上一点(不包含端点)，且满足 $∠ A D B = 2 ∠ A C B$ ，
(i) 若 $A D ⊥ B C$ ， $c = 3$ 求 $C D$ 的长；
(ii) 求 $\frac{B D}{C D}$ 的取值范围.

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