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相关试卷

1、古希腊数学家阿波罗尼斯在其著作《圆锥曲线论》中，系统地阐述了圆锥曲面的定义和利用圆锥曲面生成圆锥曲线的方法，并探究了许多圆锥曲线的性质．其研究的问题之一是“三线轨迹”问题：给定三条直线，若动点到其中两条直线的距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数，求该点的轨迹．
小明打算使用解析几何的方法重新研究此问题，他先将问题特殊化如下：
给定条直线 $l_{1} : y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$ ， $l_{2} : y = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ ， $l_{3} : x = 1$ ，动点 $P$ 到直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 和 $l_{3}$ 的距离分别为 $d_{1}$ 、 $d_{2}$ 和 $d_{3}$ ，且满足 $\frac{d_{1} d_{2}}{d_{3}^{2}} = \frac{1}{5}$ ，记动点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ ．给出下列四个结论：
①曲线 $C$ 关于 $x$ 轴对称；
②曲线 $C$ 上的点到坐标原点的距离的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ；
③平面内存在两个定点，曲线 $C$ 上有无数个点 $P$ 到这两个定点的距离之差为 $\sqrt{2}$ ；
④ $d_{1} + d_{2}$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ．
其中所有正确结论的序号是．

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2、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $M (- 1, 4)$ 作 $y$ 轴的垂线交抛物线 $C$ 于点 $A$ ，且满足 $| A F | = | A M |$ ，则抛物线 $C$ 的方程为；设直线 $A F$ 交抛物线 $C$ 于另一点 $B$ ，则点 $B$ 的纵坐标为.

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3、P是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上任意一点，点 $Q (3, 0)$ 是x轴上的定点，则 $|P Q|$ 的最小值为.

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4、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的渐近线为 $y = \pm \sqrt{2} x$ ，则该双曲线的离心率为．

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5、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上两点 $P$ 、 $Q$ 关于原点对称， $F_{2}$ 为椭圆的右焦点， $P F_{2}$ 交椭圆 $E$ 于点 $M$ ， $Q F_{2} ⊥ M F_{2}, |Q F_{2}| = 3 |M F_{2}|$ ，则椭圆 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$

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6、已知双曲线 $C :$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，右顶点为 $A$ ，以 $A$ 为圆心， $b$ 为半径作圆 $A$ ，圆 $A$ 与双曲线 $C$ 的一条渐近线交于 $M$ ， $N$ 两点，则有 $∠ M A N ＝$ （）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $90 °$ D、 $120 °$

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7、已知半径为2的圆经过点 $(1, 0)$ ，其圆心到直线 $3 x - 4 y + 12 = 0$ 的距离的最小值为（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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8、与圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 5$ 相切于点 $(2, 2)$ 的直线的斜率为（）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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9、设抛物线 $C_{1} : y^{2} = 2 p x$ （ $p$ 为常数，且 $p > 0$ ）的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，点 $A$ 在 $C_{1}$ 上且位于第一象限，过点 $A$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $H$ ．

(1)、若点 $A$ 的坐标为 $(1, 4)$ ，求 $|H F|$ ．

(2)、设过 $F$ ， $A$ ， $H$ 三点可作椭圆 $C_{2}$ ，且 $C_{2}$ 的两个焦点均在 $x$ 轴上，记 $x$ 轴正半轴上的焦点为 $B$ ，且 $B$ 在 $F$ 的左侧．
（ⅰ）证明： $△ A H B$ 的周长为定值．
（ⅱ）证明： $C_{2}$ 的离心率大于 $\frac{1}{4}$ ．

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10、若直线 $m^{2} x - 8 y - 1 = 0$ 与直线 $m^{3} x + 4 y - 7 = 0$ 垂直，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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11、已知函数 $f_{n} (x) = e^{x} - \frac{x^{n}}{n!}, (n \in N_{+})$ .

(1)、求函数 $y = f_{1} (x)$ 在 $(0, f_{1} (0))$ 处的切线方程；

(2)、记函数 $y = f_{n} (x) - \frac{1 + {(- 1)}^{n - 1}}{2}$ 的最小零点为 $a_{n}$ ，证明：
（i） $- 2 < a_{2} < 0$ 且 $f_{3} (a_{2}) > 0$ ；
（ii） $a_{2 n + 2} < a_{2 n} < \frac{a_{2 n + 1}}{2}$ .

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12、已知点 $P (4, p + 2)$ 为抛物线 $Γ : y^{2} = 2 p x$ 上一点.

(1)、求 $Γ$ 的标准方程；

(2)、过点 $(4, 0)$ 的直线 $l$ 与 $Γ$ 交于A，B两点，以AB为直径的圆与 $Γ$ 交于异于A，B的两个不同点M，N（ $M$ 在 $N$ 左边）．
（i）若 $l$ 斜率为 $- 4$ ，求M，N坐标；
（ii）设 $△ N A B$ 的内切圆与外接圆半径分别为r，R，则当 $\frac{r}{R}$ 取最大值时，求直线 $l$ 的方程.

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13、如图，多面体ABCDEF的体积为1，四边形ABCD为矩形，平面 $A E D ⊥$ 平面ABCD， $E F / / A B, B C = 2 E F = 2 A B = 2$ .

(1)、证明： $E D ⊥ C D$ ；

(2)、若 $E D ⊥ A D$ ，求直线BD和直线CE夹角的余弦值；

(3)、若 $\vec{D P} = λ \vec{D F} (0 < λ < 1)$ ，且直线BD和平面BCP所成角的正弦值为 $\frac{1}{5}$ ，求 $λ$ 的值.

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14、已知 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 $b \cos A = (2 c - a) \cos B$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}, D$ 为线段AC上一点，满足 $B D = C D = 2 A D$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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15、某公司研发了一种新产品，现有两个销售方案，方案一：所有产品以同一价格进入市场，则每件获利8元；方案二：每件产品上市前需要依次进行A，B，C三项测试，前一项测试通过后方能进行下一项测试，每项测试通过的概率分别为0.9，0.8，0.5．A，B，C三项测试均通过的产品为一等品，通过 $A$ 和 $B$ 两项测试但未通过C项测试的产品为二等品，其余产品为三等品．每件一等品获利10元，每件二等品获利8元，每件三等品获利6元．

(1)、求出方案二中某件产品为三等品的概率；

(2)、使用哪个方案时，每件产品的获利均值更高？请说明你的理由.

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16、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左焦点为 $F$ ，点 $A (4 \sqrt{3}, 3)$ ，若以A，F为焦点的双曲线 $E$ 与椭圆 $C$ 交于点 $P$ ，则双曲线 $E$ 的离心率的最大值为.

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17、在-1和9之间插入5个实数，使得这7个实数成等差数列，则插入的5个实数和为.

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18、已知函数 $f (x) = 4^{x} - \log_{2} x$ ，则 $f (\frac{1}{2}) =$ .

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19、已知集合 $U = \{1, 2, \cdot \cdot \cdot, 20\}$ ，用 $|X|$ 表示集合 $X$ 的元素个数，定义： $\{x + y | x, y \in U\} = \{a_{1}, \cdot \cdot \cdot, a_{i}\} (a_{1} < \cdot \cdot \cdot < a_{i})$ ， $P_{m} = \{(x, y) |x + y = a_{m}, x, y \in U\}, m \in \{1, 2, \cdot \cdot \cdot, i\}$ ， $P = \sum_{m = 1}^{i} \frac{1}{{|P_{m}|}^{2}}$ ； $\{|x - y| | x, y \in U\} = \{b_{1}, \cdot \cdot \cdot, b_{j}\} (b_{1} < \cdot \cdot \cdot < b_{j})$ ， $Q_{n} = \{(x, y) | |x - y| = b_{n}, x, y \in U\}, n \in \{1, 2, \cdot \cdot \cdot, j\}$ ， $Q = \sum_{n = 1}^{j} \frac{1}{{|Q_{n}|}^{2}}$ .则（）

A、 $|Q_{1}| = 20$ B、 $|P_{4}| > |P_{37}|$ C、 $P < 3$ D、 $6 < \frac{P}{Q} < 8$

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20、已知函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，下列结论正确的是（）

A、 $ω = 2$ B、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 D、方程 $|f (x) + \frac{1}{2}| + |f (x) - 1| = \frac{3}{2}$ 的解集为 $\{x |k π \leq x \leq \frac{2 π}{3} + k π, k \in Z\}$

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