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1、过不重合的 $A (m^{2} + 2, m^{2} - 3), B (3 - m - m^{2}, 2 m)$ 两点的直线 $l$ 的倾斜角为 $45 °$ ，则 $m$ 的取值为．

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2、已知 $\tan α = 2 \tan β$ ，则（）

A、 $\exists α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ，使得 $α = 2 β$ B、若 $\sin α \cos β = \frac{2}{5}$ ，则 $\sin (α - β) = \frac{1}{5}$ C、若 $\sin α \cos β = \frac{2}{5}$ ，则 $\cos (2 α + 2 β) = - \frac{7}{25}$ D、若 $α$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $\tan (α - β)$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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3、如图，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2， $A B$ ， $C D$ 分别为上、下底面的直径， $A C$ ， $B D$ 为圆台的母线， $E$ 为弧 $A B$ 的中点，则（）

A、圆台的侧面积为 $6 π$ B、直线 $A C$ 与下底面所成的角的大小为 $\frac{π}{3}$ C、圆台的体积为 $\sqrt{3}$ D、异面直线 $A C$ 和 $D E$ 所成的角的大小为 $\frac{π}{4}$

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4、（多选）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（）

A、点 $P (1, - 1, 0)$ 与点 $Q (1, 1, 0)$ 关于z轴对称 B、点 $A (- 3, - 1, 4)$ 与点 $B (3, - 1, - 4)$ 关于y轴对称 C、点 $A (- 3, - 1, 4)$ 与点 $B (3, - 1, - 4)$ 关于平面 $x O z$ 对称 D、空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分

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5、设直线 $l$ 的方程为 $y - x \cos θ + 3 = 0 (θ \in R)$ ，则直线 $l$ 的倾斜角 $α$ 的取值范围是（）

A、 $[0, π)$ B、 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ C、 $[0, \frac{π}{4}] \cup [\frac{3π}{4}, π)$ D、 $[\frac{π}{4}, \frac{3π}{4}]$

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6、已知平面 $α$ 的一个法向量 $\vec{n} = (1, - 1, 2)$ ， $A (0, 1, 2)$ 是平面 $α$ 内一点， $P (2, 1, 4)$ 是平面 $α$ 外一点，则点 $P$ 到平面 $α$ 的距离是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{6}$ D、3

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7、我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥 $P - A B C D$ 为阳马， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $A B = A D = A P = 3$ ， $\vec{E C} = 2 \vec{P E}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{D E} =$ （）

A、 $- 3$ B、3 C、2 D、5

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8、已知正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的棱长为1，且 $B P = \frac{1}{3} B D^{'}$ ，建立如图所示的空间直角坐标系，则点P的坐标为（）

A、 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ B、 $(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ C、 $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$ D、 $(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3})$

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9、如图所示，在四面体A－BCD中，点E是CD的中点，记 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A D} = \vec{c}$ ，则 $\vec{B E}$ 等于（）

A、 $- \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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10、已知 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$ 是空间的一个基底，那么下列选项中不可作为基底的是（）

A、 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{a} + \vec{c}}$ B、 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{a} + 2 \vec{b}}$ C、 ${\vec{a} + 2 \vec{c}, \vec{b}, \vec{c}}$ D、 ${\vec{a}, \vec{a} + \vec{b}, \vec{a} + \vec{c}}$

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11、已知集合 $A = \{x |2 - a \leq x \leq 2 + a\}$ ， $B = \{x | x \leq 1$ 或 $x \geq 4\}$ ．
（1）当 $a = 3$ 时，求 $A \cap B$ ；
（2）“ $x \in A$ ”是“ $x \in ∁_{R} B$ ”的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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12、设集合 $M = {x | x > 2}$ . $N = {x | x < 3}$ ，那么“ $x \in M$ 且 $x \in N$ ”是“ $x \in M \cap N$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、设集合 $A = \{1, a^{2}, - 2\}$ ， $B = {2, 4}$ ，则“ $A \cap B = {4}$ ”是“ $a = 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱．对定义在非空集合I上的函数 $f (x)$ ，以及函数 $g (x) = k x + m (k, m \in R)$ ，切比雪夫将函数 $y = |f (x) - g (x)|$ ， $x \in I$ 的最大值称为函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的“偏差”．若 $f (x) = x^{2} (x \in [0, 4])$ ， $g (x) = 4 x + m$ ，则函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的“偏差”取得最小值时，m的值为．

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15、大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积.两个集合 $A$ 和 $B$ ，用 $A$ 中元素为第一元素， $B$ 中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作 $A$ 与 $B$ 的笛卡儿积，又称直积，记为 $A \times B$ .即 $A \times B = \{(x, y) |x \in A$ 且 $y \in B\}$ .关于任意非空集合 $M ， N ， T$ ，下列说法错误的是（）

A、 $M \times N = N \times M$ B、 $(M \times N) \times T = M \times (N \times T)$ C、 $M \times (N \cup T)$ Ü $(M \times N) \cup (M \times T)$ D、 $M \times (N \cap T) = (M \times N) \cap (M \times T)$

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16、已知函数 $y = f (x)$ 的定义域是 $[- 8, 1]$ ，则函数 $g (x) = \frac{f (2 x + 1)}{x + 2}$ 的定义域是（）

A、 $(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3]$ B、 $[- 8, - 2) \cup (- 2, 1]$ C、 $[- \frac{9}{2}, - 2) \cup (- 2, 0]$ D、 $[- \frac{9}{2}, - 2]$

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17、对于 $\forall x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，例如： $[π] = 3$ ， $[- 2.1] = - 3$ ，则“ $[x] > [y]$ ”是“ $x > y$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、李明自主创业，经营一家网店，每售出一件 $A$ 商品获利8元.现计划在“五一”期间对 $A$ 商品进行广告促销，假设售出 $A$ 商品的件数 $m$ （单位：万件）与广告费用 $x$ （单位：万元）符合函数模型 $m = 3 - \frac{2}{x + 1}$ .若要使这次促销活动获利最多，则广告费用 $x$ 应投万元，获得总利润为万元.

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19、下列说法正确的是（）

A、 ${0, 1, 2} \subseteq {2, 1, 0}$ B、 $\emptyset \subseteq {0, 1, 2}$ C、 ${0, 1} = {(0, 1)}$ D、 $0 = {0}$

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20、折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧 $D E, A C$ 所在圆台的底面半径分别是 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ ，且 $r_{2} = 2 r_{1}, A D = 10$ ，圆台的侧面积为 $150 π$ ，则该圆台的体积为（）

A、 $\frac{35 \sqrt{3} π}{3}$ B、 $\frac{175 \sqrt{3} π}{3}$ C、 $\frac{875 \sqrt{3} π}{3}$ D、 $875 \sqrt{3} π$

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