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相关试卷

1、已知命题 $p : \exists x > 0$ ， $x^{3} = x^{2}$ ， $q : \forall x \in R$ ， $x^{4} > 0$ ，则（）

A、p和q都是真命题 B、p和 $\neg q$ 都是真命题 C、 $\neg p$ 和q都是真命题 D、 $\neg p$ 和 $\neg q$ 都是真命题

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2、已知函数 $f (x) = a x^{2} + (a - 2) x + \frac{1}{4} (a \in R) .$

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集是实数集 $R$ ，求a的取值范围；

(2)、当 $a \in R$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) - \frac{9}{4} \leq 0.$

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3、已知全集为R ，集合 $A = \{x | 1 \leq x < 3\}$ ， $B = \{x | (2 x - 3) (x - 4) \leq 0\}$ ．

(1)、求 $A \cup B$ ， $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若 $C = \{x | m + 1 < x < 2 - m\}$ ，且 $A \cap C = C$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + \frac{5}{2}, & x \leq 2, \\ \frac{2}{x}, & x > 2, \end{array}$ 则 $f (f (4)) =$

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5、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + y = 1$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $x y$ 有最大值为 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$ 有最小值为9 C、 $x^{2} + 2 y^{2}$ 有最小值为 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{y}{x} + \frac{1}{y}$ 有最小值为3

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6、下列说法正确的是（）

A、若 $\frac{a}{c^{2}} < \frac{b}{c^{2}}$ ，则 $a < b$ B、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a + c > b + d$ C、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$ D、若 $a > b > 0$ ， $m > 0$ ，则 $\frac{b + m}{a + m} > \frac{b}{a}$

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7、数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ 求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的周长为12， $a = 4$ ，则此三角形面积的最大值为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{5}$

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8、不等式 $x (x - 2) < 0$ 成立的一个充分不必要条件是（）

A、 $x \in (0, 2]$ B、 $x \in (0, 2)$ C、 $x \in (0, 1)$ D、 $x \in (- \infty, 0]$

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9、如图， $U$ 是全集， $M$ ， $N$ ， $P$ 是 $U$ 的子集，则阴影部分表示的集合是（）

A、 $M \cap (N \cap P)$ B、 $M \cup (N \cap P)$ C、 $(∁_{U} M) \cap (N \cap P)$ D、 $(∁_{U} M) \cup (N \cap P)$

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10、已知点 $A (2, - 3), B (- 5, - 2)$ ，若直线 $l : m x + y + m - 1 = 0$ 与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（）

A、 $[- \frac{4}{3}, \frac{3}{4}]$ B、 $(- \infty, - \frac{4}{3}] \cup [\frac{3}{4}, + \infty)$ C、 $[- \frac{3}{4}, \frac{4}{3}]$ D、 $(- \infty, - \frac{3}{4}] \cup [\frac{4}{3}, + \infty)$

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11、已知非空集合 $A$ ， $B$ 同时满足以下四个条件：
① $A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5}$ ；
② $A \cap B = \emptyset$ ；
③ $c a r d (A) \notin A$ ；
④ $c a r d (B) \notin B$ ．
注：其中 $c a r d (A)$ 、 $c a r d (B)$ 分别表示 $A$ 、 $B$ 中元素的个数．
（1）如果集合 $A$ 中只有一个元素，那么 $A =$ ；
（2）如果集合 $A$ 中有3个元素，则有序集合对 $(A, B)$ 的个数是．

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12、命题“ $\forall x > 0$ ， $x^{2} + 3 x - 2 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x > 0$ ， $x^{2} + 3 x - 2 \leq 0$ B、 $\exists x > 0$ ， $x^{2} + 3 x - 2 > 0$ C、 $\forall x \leq 0$ ， $x^{2} + 3 x - 2 > 0$ D、 $\exists x > 0$ ， $x^{2} + 3 x - 2 \leq 0$

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13、设任意一个无穷数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项之积为 $T_{n}$ ，若 $\forall n \in N^{*}$ ， $T_{n} \in \{a_{n}\}$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 是 $T$ 数列．

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 是首项为 $- 2$ ，公差为 $1$ 的等差数列，请判断 $\{a_{n}\}$ 是否为 $T$ 数列？并说明理由；

(2)、证明：若 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = n \cdot 2^{n}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 不是 $T$ 数列；

(3)、设 $\{a_{n}\}$ 是无穷等比数列，其首项 $a_{1} = 5$ ，公比为 $q (q > 0)$ ，若 $\{a_{n}\}$ 是 $T$ 数列，求 $q$ 的值．

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14、已知函数 $f (x) = x^{3} + \frac{2^{x + 1}}{2^{x} + 1}$ ，若实数 $a, b$ 满足 $f (a^{2}) + f (2 b^{2} - 3) = 2$ ，则 $a \sqrt{1 + b^{2}}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{7 \sqrt{2}}{4}$

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15、若 $a b > a^{2}$ ，且 $a, b \in (0, 1)$ ，则下列不等式一定正确的是（）

A、 $\frac{1}{b} < \frac{1}{b - a}$ B、 $a b > b^{2}$ C、 $1 + a b < a + b$ D、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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16、如图， $P$ 为圆锥的顶点， $O$ 是圆锥底面的圆心， $A C$ 为底面直径， $△ A B D$ 为底面圆 $O$ 的内接正三角形，点 $E$ 在母线 $P C$ 上，且 $A B = A E = 3$ ， $C E = \sqrt{3}$ .

(1)、求证：平面 $B E D ⊥$ 平面 $A B D$ ；

(2)、求直线 $P O$ 与平面 $A B E$ 所成角的正弦值；

(3)、在线段 $O P$ 上是否存在一点 $M$ ，使得平面 $M A B$ 与平面 $A D E$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ ？若存在，确定点 $M$ 的位置，若不存在，请说明理由

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17、如图， $M$ 为四面体 $O A B C$ 的棱 $B C$ 的中点， $N$ 为 $O M$ 的中点，点 $P$ 在线段 $A N$ 上，且 $A P = 2 P N$ ，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{O P} =$ （）

A、 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c}$ B、 $\vec{O P} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{12} \vec{b} + \frac{1}{12} \vec{c}$ C、 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c}$ D、 $\vec{O P} = \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{12} \vec{b} - \frac{1}{6} \vec{c}$

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18、已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“ $α / / β$ ”是“ $m / / β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A D = A A_{1} = 1$ ．动点P从 $A_{1}$ 出发，在棱 $A_{1} B_{1}$ 上匀速运动；动点Q同时从B出发，在棱BC上匀速运动，P的运动速度是Q的两倍，各自运动到另一端点停止．它们在运动过程中，设直线PQ与平面ABCD所成的角为 $θ$ ，则 $\tan θ$ 的取值范围是．

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20、直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = A C = 2, A A_{1} ⊥ A B, A C ⊥ A B, D$ 为 $A_{1} B_{1}$ 中点，E为 $A A_{1}$ 中点，F为 $C D$ 中点．

(1)、求证： $E F //$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求直线 $B E$ 与平面 $C C_{1} D$ 的正弦值；

(3)、求平面 $A_{1} C D$ 与平面 $C C_{1} D$ 夹角的余弦值．

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