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相关试卷

1、如图所示，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} C_{1} C$ 是边长为4的正方形， $A A_{1} ⊥ A B$ ， $A B = 3, B C = 5$ .
(l)求证： $A A_{1} ⊥ B C$ ；
(2)求二面角 $A_{1} - B C_{1} - B_{1}$ 的余弦值．

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2、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A C$ 与 $B D$ 相交于 $M$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ 、 $\vec{A D} = \vec{b}$ 、 $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，

(1)、用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 表示 $\vec{B_{1} M}$ ；

(2)、若 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 三向量是两两成 $60 °$ 角的单位向量，求 $|\vec{B_{1} M}|$ ．

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3、已知点 $A (2, - 1, 3)$ ，若 $B (1, 0, 0)$ ， $C (1, 2, 2)$ 两点在直线l上，则点A到直线l的距离为.

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4、数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》.已知《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径 $M N$ 折成了直二面角（其中 $M$ 对应钟上数字 $3, N$ 对应钟上数字9）.设 $M N$ 的中点为 $O, |M N| = 4 \sqrt{3}$ ，若长度为2的时针 $O A$ 指向了钟上数字8，长度为3的分针 $O B$ 指向了钟上数字12.现在小王准备安装长度为3的秒针 $O C$ （安装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细），则下列说法正确的是（）

A、若秒针 $O C$ 指向了钟上数字5，如图2，则 $O A ⊥ B C$ B、若秒针 $O C$ 指向了钟上数字5，如图2，则 $N A$ $//$ 平面 $O B C$ C、若秒针 $O C$ 指向了钟上数字4，如图3，则 $B C$ 与 $A M$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{14}}{7}$ D、若秒针 $O C$ 指向了钟上数字4，如图3，则四面体 $O A B C$ 的外接球的表面积为 $\frac{103}{3} π$

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5、已知事件 $A, B, C$ 两两互斥，若 $P (A) = \frac{1}{5}, P (A \cup B) = \frac{8}{15}, P (A \cup C) = \frac{9}{20}$ ，则（）

A、 $P (B) = \frac{1}{3}$ B、 $P (C) = \frac{1}{3}$ C、 $P (B \cup C) = \frac{7}{12}$ D、 $P (B \cap C) = 0$

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6、为了解各种APP的使用情况，将使用人数排名前5的数据整理得到如下的柱状图，则（）

A、APP使用人数最多的是微信 B、微信APP的使用人数超过今日头条APP的使用人数的2倍 C、微信APP的使用人数超过今日头条APP与快手APP的使用人数之和 D、抖音APP的使用人数大于快手APP的使用人数的125%

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7、已知向量 $\vec{a} = (1, 1, \sqrt{2})$ ， $\vec{b} = (- 3, 2, 0)$ ，则 $\vec{a} - \vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{3}{4}, \frac{3}{4}, \frac{3 \sqrt{2}}{4})$ B、 $(\frac{5}{4}, \frac{5}{4}, \frac{5 \sqrt{2}}{4})$ C、 $(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}, \frac{3 \sqrt{2}}{2})$ D、 $(- \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{\sqrt{2}}{5})$

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8、在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为：29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的第75百分位数为（）

A、37.5 B、38 C、39 D、40

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9、如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是（）

A、众数<中位数<平均数 B、众数<平均数<中位数 C、中位数<平均数<众数 D、中位数<众数<平均数

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10、在空间直角坐标系中，点 $(- 2, 1, 4)$ 关于 $x$ 轴的对称点的坐标为（）

A、 $(- 2, 1, - 4)$ B、 $(- 2, - 1, - 4)$ C、 $(2, 1, - 4)$ D、 $(2, - 1, 4)$

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11、已知函数 $y = (m + 1) x^{2} - (m - 1) x + m - 1$ ．

(1)、若不等式 $(m + 1) x^{2} - (m - 1) x + m - 1 < 1$ 的解集为 $R$ ，求 $m$ 的取值范围；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $(m + 1) x^{2} - 2 m x + m - 1 \geq 0$ ；

(3)、若不等式 $(m + 1) x^{2} - (m - 1) x + m - 1 \geq 0$ 对一切 $x \in \{x |- \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}\}$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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12、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- 4, - 2)$ ，则函数 $g (x) = f (x - 1) + \sqrt{x + 2}$ 的定义域为.

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13、下列说法正确的是（）

A、“ $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ”是“ $a > b$ ”的充分不必要条件 B、“ $A = \emptyset$ ”是“ $A \cap B = \emptyset$ ”的充分不必要条件 C、若 $a, b, c \in R$ ，则“ $a b^{2} > c b^{2}$ ”的充要条件是“ $a > c$ ” D、若 $a, b \in R$ ，则“ $a^{2} + b^{2} \neq 0$ ”是“ $|a| + |b| \neq 0$ ”的充要条件

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14、已知实数集 $A$ 满足条件：若 $a \in A$ ，则 $\frac{1 + a}{1 - a} \in A$ ，则集合 $A$ 中所有元素的乘积为（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $\pm 1$ D、与 $a$ 的取值有关

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15、下列各组函数相等的是（）

A、 $f (x) = x^{2}$ ， $g (x) = {(\sqrt{x})}^{4}$ B、 $f (x) = x - 1$ ， $g (x) = \frac{x^{2}}{x} - 1$ C、 $f (x) = 1$ ， $g (x) = x^{0}$ D、 $f (x) = |x|$ ， $g (x) = \{\begin{matrix} x, x \geq 0 \\ - x, x < 0 \end{matrix}$

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16、下列关系中正确的个数为（）
① $2 \in R$ ， ② $\sqrt{2} \notin Q$ ， ③ $| - 3 | \in N$ ④ $| - \sqrt{3} | \in Q$

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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17、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b \cos C + c \cos B = \sqrt{2} a \sin A$ .

(1)、求锐角 $A$ 的大小；

(2)、若 $\sin C = \sqrt{3} \cos C$ ，且 $△ A B C$ 的周长为 $3 + \sqrt{3} + \sqrt{6}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18、下列选项错误的是（）

A、 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ B、 $x + \frac{4}{x} \geq 4$ C、 $\sqrt{1 - x^{2}} + \frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ D、 $x^{2} + \frac{1}{x^{2} + 2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$

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19、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 均为实数，有下列命题：
（1）若 $a b > 0$ ， $b c - a d > 0$ ，则 $\frac{c}{a} - \frac{d}{b} > 0$ ；
（2）若 $a b > 0$ ， $\frac{c}{a} - \frac{d}{b} > 0$ ，则 $b c - a d > 0$ ；
（3）若 $b c - a d > 0$ ， $\frac{c}{a} - \frac{d}{b} > 0$ ，则 $a b > 0$ ，
其中正确命题的个数是 $($ 　　 $)$

A、0 B、1 C、2 D、3

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20、已知集合 $A = \{x | x \geq 3\}, B = \{x | 1 \leq x \leq 7\}, C = \{x | x \geq a - 1\}$ ．

(1)、求 $∁_{R} (A \cup B)$ 和 $(∁_{R} A) \cap B$ ，

(2)、若 $C \cup A = A$ ，求实数a的取值范围．

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