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相关试卷

1、已知 $a > e, b > e$ ，且 $a (1 + ln b) = (1 + e b) ln a$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数，则下列结论正确的是（）

A、 $ln a - ln b < 1$ B、 $a e < b$ C、 $a b < e^{3}$ D、 $2^{ln a} + 2^{ln b} > 6$

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2、方程 $\cos (\frac{π}{2} \sin x) = \sin (\frac{π}{2} \cos x)$ 在 $[0, π]$ 上的实数解有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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3、已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $E$ 是棱 $C_{1} D_{1}$ 的中点，平面 $A B_{1} E$ 将长方体分割成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比为（）

A、 $\frac{15}{7}$ B、 $2$ C、 $\frac{17}{7}$ D、 $\frac{24}{7}$

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4、若 $\vec{a} = (- 2, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (2cos \frac{π}{3},2sin \frac{π}{3})$ ，下列正确的是（）

A、 $\vec{b} / / (\vec{a} - \vec{b})$ B、 $\vec{b} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ C、 $\vec{a}$ $在$ $\vec{b}$ 方向上的投影向量是 $\frac{1}{4} \vec{b}$ D、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$

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5、若直线 $l : y = k x (k > 0)$ 与双曲线 $C : \frac{y^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ 有两个不同交点，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{\sqrt{3}}{2})$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, + \infty)$ C、 $(0, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ D、 $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, + \infty)$

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6、若复数 $z$ 的实部大于0，且 $z (\bar{z} + 1) = 6 - 2 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - 2 i$ B、 $- 1 - 2 i$ C、 $- 1 + 2 i$ D、 $1 + 2 i$

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7、已知集合 $A = \{x ||x - 1| < 3, x \in Z\}$ ， $B = \{x |y = \ln (x - 1)\}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$ B、 ${- 1, 0, 1}$ C、 ${- 2, - 1, 0, 1}$ D、 ${- 2, - 1, 0}$

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8、甲、乙两选手进行象棋比赛，假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ．

(1)、若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率；

(2)、如果比赛采用五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）进行比赛，求比赛的局数X的分布列和期望；

(3)、如果每局比赛甲获胜的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，乙获胜的概率为 $q (q = 1 - p)$ ，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，请问对于甲选手来说，该如何选择比赛赛制对自己更有利，请说明理由，由此你能得出什么结论．

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9、如图，在四棱锥 $P － A B C D$ 中， $A D ⊥ C D ， A D ⊥ A B ， ∠ B C D = 45 ° ，$ $A D = 1 ，$ $B C = \sqrt{2}$ ， $P D ⊥ A D$ .现设 $P D = t ， C D = 4 － t ， 0 ＜ t ＜ 3$ .

(1)、求证：平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、当 $t = 1$ 时，侧棱PC上点M满足 $B M = \sqrt{2}$ ， $∠ A B M = 45 ° .$ 证明：M是侧棱 $P C$ 的中点；

(3)、当 $∠ P D C = 120 °$ 时，求三棱锥 $P － B C D$ 的外接球体积的最小值.

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10、已知向量 $\vec{m} = (\sin (\frac{π}{4} + x), \sqrt{3} \sin x)$ ， $\vec{n} = (\sin (\frac{π}{4} - x), \cos x)$ ，设函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ .

(1)、化简 $f (x)$ 并写出 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若 $f (\frac{π}{12} + \frac{α}{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，且 $\frac{5 π}{6} < α < π$ ，求 $\sin α$ 的值；

(3)、在锐角 $△ A B C$ 中，若 $f (\frac{A}{2}) = 1$ ， $A C = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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11、2025年六五环境日主题为“美丽中国我先行”，南京市某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答这道题正确的概率是 $\frac{3}{4}$ ，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是 $\frac{9}{32}$ ，乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是 $\frac{19}{24}$ .各家庭回答是否正确相互独立.

(1)、求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率；

(2)、求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答这道题正确的概率.

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12、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A C ⊥ B C$ ， $B C = C C_{1}$ ，设 $A B_{1}$ 的中点为D， $B C_{1}$ 的中点为E.求证：

(1)、 $D E / /$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ；

(2)、 $B C_{1} ⊥ A B_{1}$ .

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13、已知复数 $z = m - i$ （ $m \in R$ ），且 $\bar{z} \cdot (1 + 3 i)$ 为纯虚数（ $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数）.

(1)、设复数 $z_{1} = \frac{m + 2 i}{1 - i}$ ，求 $|z_{1}|$ ；

(2)、复数 $z_{2} = \frac{a - i^{2025}}{z}$ 在复平面内对应的点在第一象限，求实数 $a$ 的取值范围.

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14、已知 $| \vec{A B} | = 6$ ，平面上动点 $P$ 满足 $|\vec{A P} - t \vec{A B}| \geq 4$ 对任意 $t \in R$ 恒成立，则 $\overset{⇀}{P A} \cdot \overset{⇀}{P B}$ 的最小值为，此时 $| \vec{P A} + \vec{P B} | =$ .

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15、已知60个样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{59}, x_{60}$ 的平均数为3，其中 $\sum_{i = 1}^{60} x_{i}^{2} = 1260$ ，则这60个数据的方差为.

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16、在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4$ ， $A_{1} B_{1} = 2$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ，则该棱台的体积．

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17、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点 $P$ 为线段 $B_{1} C$ 上的动点，则（）

A、 $P A + P A_{1}$ 的最小值为 $12 + 4 \sqrt{6}$ B、 $A P$ 与 $B D_{1}$ 始终保持垂直 C、以 $A$ 为球心， $\sqrt{2}$ 为半径的球面与平面 $A_{1} B D$ 的交线长为 $\frac{2 \sqrt{6} π}{3}$ D、经过 $A C_{1}$ 的平面截正方体所得截面面积的最小值为 $\sqrt{30}$

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18、已知数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ， …， $x_{n}$ 的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是 $a_{1}$ ， $b_{1}$ ， $c_{1}$ ， $d_{1}$ ，数据 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ ， …， $y_{n}$ 的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是 $a_{2}$ ， $b_{2}$ ， $c_{2}$ ， $d_{2}$ ，且满足 $y_{i} = 2 x_{i} - 1 (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{2} = 2 a_{1} - 1$ B、 $b_{2} = b_{1}$ C、 $c_{2} = 4 c_{1}$ D、 $d_{2} = 2 d_{1} - 1$

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19、正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一.如图，一个正八面体八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为 $Ω = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ ，记“得到的点数为奇数”为事件A，记“得到的点数不大于4”为事件B，记“得到的点数为质数”为事件C，则下列说法正确的是（）

A、事件 $B$ 与 $C$ 互斥 B、 $P (A + B) = \frac{3}{4}$ C、事件 $A$ 与 $C$ 相互独立 D、 $P (\bar{A B}) = \frac{3}{4}$

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20、 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，满足 $2 b \cos \frac{A}{2} = a \cos (\frac{A}{2} - B)$ ，若 $λ \cos A - \cos (C - B)$ 存在最小值，则实数 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(- 2, 0)$ C、 $(- 4, 4)$ D、 $(- 4, 2)$

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