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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}, a_{1} = 1, a_{n + 1} = S_{n} + 2^{n + 1}, n \in N^{*}$ .

(1)、求证：数列 $\{\frac{S_{n}}{2^{n}}\}$ 是等差数列；

(2)、设 $b_{n} = \frac{S_{n}}{3^{n}}, \{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ；
①求 $T_{n}$ ；
②若对任意的正整数n，不等式 $5 - T_{n} < λ \cdot 2^{n}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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2、求下列函数的导数：

(1)、 $y = \ln 3$ ；

(2)、 $y = x^{- 3}$ ；

(3)、 $y = {(2 x + 3)}^{10}$ ；

(4)、 $y = e^{2 x + 1}$ ；

(5)、 $y = \ln (3 x - 2)$ ；

(6)、 $y = \sin 4 x$

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3、已知函数 $f (x) = |e^{x} - 1|$ ， $a > 0 > b$ ， $f (a) = f (b)$ ，则 $b (e^{a} - 2)$ 的最大值为．

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4、如图，现在提供3种颜色给A，B，C，D4个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，且相邻区域颜色不相同，共有种不同的涂色方案？

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5、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{5} = 27 a_{2}$ ， $S_{3} = 26$ ，则 $\frac{S_{4}}{a_{1} + a_{4}} =$ ．

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6、已知函数 $f (x) = (x + 1) e^{x}$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的极小值点为 $- \frac{1}{e^{2}}$ B、 $f^{'} (- 2) = 0$ C、函数 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(- \infty, - 2)$ D、若函数 $g (x) = f (x) - a$ 有两个不同的零点，则 $a \in (- \frac{1}{e^{2}}, + \infty)$

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7、下面是关于公差 $d > 0$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的四个命题，其中正确的有（）

A、数列 $\{a_{2 n - 1}\}$ 是等差数列 B、数列 $\{2 a_{n} - 1\}$ 是等差数列 C、数列 $\{\frac{a_{n}}{n}\}$ 是递增数列 D、数列 $\{a_{n} + 3 n d\}$ 是递增数列

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8、下列说法中正确的有（）

A、4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有 $4^{3}$ 种报名方法 B、4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有 $3^{4}$ 种报名方法 C、4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有 $4^{3}$ 种可能结果 D、4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有 $3^{4}$ 种可能结果

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9、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $x f^{'} (x) - f (x) < 0$ ，且 $f (2) = 2$ ，则 $f (e^{x}) - e^{x} > 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty, ln 2)$ B、 $(ln 2, + \infty)$ C、 $(0, e^{2})$ D、 $(e^{2}, + \infty)$

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10、某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为 $x (x > 0)$ 千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为 $f (x)$ 千元与 $g (x)$ 千元，其中 $f (x) = 2 x$ ， $g (x) = 4 \ln (2 x + 1)$ ，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投（）千元．

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

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11、三次函数 $f (x) = m x^{3} - x^{2} - x$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上是减函数，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - \frac{1}{3}]$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(- \infty, - \frac{1}{3})$ D、 $(- \infty, 1]$

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12、已知函数 $f (x) = 3 f^{'} (1) x - x^{2} + ln x + \frac{1}{2}$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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13、函数 $f (x) = 6 + 12 x - x^{3}$ 的极小值点为（）

A、 $(4, - 10)$ B、 $(- 2, - 10)$ C、 $4$ D、 $- 2$

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14、已知公差为 $d$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{5} - 2 a_{3} = 1$ ，且 $a_{2} = 0$ ，则 $d =$ （）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $2$

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15、已知函数 $f (x) = x^{3}$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (2 + Δ x) - f (2)}{Δ x} =$ （）

A、6 B、8 C、12 D、16

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16、随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列 $\{a_{n}\}$ ，规定 $\{Δ a_{n}\}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的一阶差分数列，其中 $Δ a_{n} = a_{n + 1} - a_{n} (n \in N^{*})$ ，规定 $\{Δ^{2} a_{n}\}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的二阶差分数列，其中 $Δ^{2} a_{n} = Δ a_{n + 1} - Δ a_{n} (n \in N^{*})$ ．

(1)、数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = n^{3} (n \in N^{*})$ ，试判断数列 $\{Δ a_{n}\}$ ， $\{Δ^{2} a_{n}\}$ 是否为等差数列，请说明理由?

(2)、数列 $\{{log}_{a} b_{n}\}$ 是以1为公差的等差数列，且 $a > 2$ ，对于任意的 $n \in N^{*}$ ，都存在 $m \in N^{*}$ ，使得 $Δ^{2} b_{n} = b_{m}$ ，求a的值．

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17、已知各项均不为零的数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，其前n项和记为 $S_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}^{2} - S_{n - 1}^{2}}{a_{n}} = 2 n^{2}, n \geq 2, n \in N^{*}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = a_{n} + a_{n + 1}, n \in N^{*}$ ．

(1)、求 $a_{2}, a_{3}, S_{100}$ ；

(2)、求数列 $\{3^{n} \cdot b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18、已知函数 $f (x) = \frac{3}{2} x^{2} - 4 a x + a^{2} ln x$ 在 $x = 1$ 处取得极大值．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{e}, e]$ 上的最大值．

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} \ln x, x \geq 1 \\ 2 x^{3} - 3 x^{2} + 1, x < 1 \end{cases}$ ，则 $x \in [- 1, e]$ 时， $f (x)$ 的最小值为，设 $g (x) = {[f (x)]}^{2} - f (x) + a$ ，若函数 $g (x)$ 有6个零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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20、已知函数 $f (x) = \frac{a x}{x + 2}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- 1, f (- 1))$ 处的切线 $l$ 垂直于直线 $x + 2 y - 1 = 0$ ，则实数 $a$ 的值为．

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