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相关试卷

1、如图所示，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $A B = A A_{1} = 4$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A_{1} B_{1}$ ， $A D$ 的中点．

(1)、求证： $A_{1} N //$ 平面 $B D M$ ；

(2)、若 $∠ B A D = 60 °$ ，求 $A M$ 与平面 $D D_{1} M$ 所成角的正弦值；

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2、已知 $S_{n}$ 为数列 $a_{n}$ 的前n项和， $a_{1} =1,$ $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是公差为1的等差数列．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、证明： $\frac{1}{3} ≤ \frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} +⋯+ \frac{1}{a_{n} a_{n +1}} < \frac{1}{2}$ ．

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3、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + b x^{2} + c x + 3$ 在 $(- \infty, - 1)$ 和 $(3, + \infty)$ 上为增函数，在 $(- 1, 3)$ 上为减函数．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 的极值．

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4、已知函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 满足： $f^{'} (x) - f (x) = e^{2 x}$ ，且 $f (0) = 1$ ，当 $x \in (0, + \infty)$ 时， $x (f (x) - a) \geq 1 + \ln x$ 恒成立，则实数a的取值范围是．

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5、老师排练节目需要 $3$ 名男生和 $2$ 名女生，将这 $5$ 名学生随机排成一排， $2$ 名女生不相邻的排法为.

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6、给定数列 $\{a_{n}\}$ ，定义差分运算： $Δ a_{n} = a_{n + 1} - a_{n}, Δ^{2} a_{n} = Δ a_{n + 1} - Δ a_{n}, n \in N^{*}$ ．若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = n^{2} + n$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的首项为1，且 $Δ b_{n} = (n + 2) \cdot 2^{n - 1}, n \in N^{*}$ ，则（）

A、存在 $M > 0$ ，使得 $Δ^{2} a_{n} < M$ 恒成立 B、 $b_{n} = n \times 2^{n - 1}$ C、对任意 $M > 0$ ，总存在 $n \in N^{*}$ ，使得 $b_{n} < M$ D、对任意 $M > 0$ ，总存在 $n \in N^{*}$ ，使得 $\frac{Δ^{2} b_{n}}{b_{n}} > M$

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7、已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + b x + 1$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的极值点同时也是 $f (x)$ 的零点，则（）

A、 $b = 2$ B、 $f (x)$ 在R上单调递增 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- 1, 0)$ 中心对称 D、过坐标原点只有两条直线与曲线 $y = f (x)$ 相切

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8、已知二项式 ${(2 - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{9}$ 的展开式，则（）

A、常数项是512 B、有理项（x的指数为整数的项）共有5项 C、第4项和第5项的二项式系数相等 D、展开式的二项式系数和为512

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9、已知函数 $f (x) = (a e^{x} + e x) (e^{x} + e x)$ 与 $g (x) = e^{2 x}$ 的图象恰有三个不同的公共点（其中 $e$ 为自然对数的底数），则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \frac{1}{2}, 0)$ B、 $(- \frac{1}{2}, 1)$ C、 $(\frac{1}{2}, 1)$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$

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10、已知 $(2 + k x) \cdot {(1 + x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{6} x^{6}$ ，其中 $a_{2} = 25$ ，则 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} =$ （）

A、16 B、32 C、24 D、48

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11、一袋中有大小相同的 $4$ 个红球和 $2$ 个白球，若从中不放回地取球 $2$ 次，每次任取 $1$ 个球，记“第一次取到红球”为事件 $A$ ， “第二次取到白球”为事件 $B$ ，则 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{4}{15}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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12、今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同一部影片的选择共有（）

A、36种 B、45种 C、48种 D、72种

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13、函数 $f (x) = e^{- x} - x - 2$ 的图象在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程是（）

A、 $y + 1 = 0$ B、 $y - 1 = 0$ C、 $2 x + y + 1 = 0$ D、 $2 x + y - 1 = 0$

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14、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2} - 6} = 1$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则椭圆 $C$ 的长轴长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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15、若复数 $z$ 满足 $z i = 1 - i$ ，则下列命题正确的有（）

A、 $z$ 的虚部是－1 B、 $|z| = \sqrt{2}$ C、 $z^{2} = 2$ D、 $z$ 是方程 $x^{2} + 2 x + 2 = 0$ 的一个根

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16、某同学参加学校组织的数学知识竞赛，在5道四选一的单选题中有3道有思路，有2道完全没有思路，有思路的题目每道做对的概率为 $\frac{1}{2}$ ，没有思路的题目只好任意猜一个答案．若从这5道题目中任选2题，则该同学2道题目都做对的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{7}{32}$ C、 $\frac{3}{16}$ D、 $\frac{5}{32}$

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17、抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过抛物线的焦点．过点 $P (2 \sqrt{2}, 5)$ 且平行于 $y$ 轴的一条光线射向抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 上的 $A$ 点，经过反射后的反射光线与 $C$ 相交于点 $B$ ，则 $|A B| =$ （）

A、 $\frac{7}{2}$ B、9 C、36 D、 $\frac{9}{2}$

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18、若 $cos (α + \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ，则 $sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $- \frac{7}{25}$ C、 $\frac{9}{25}$ D、 $- \frac{9}{25}$

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19、已知集合 $A = \{1, 3, 4\}$ ，集合 $B = \{2, 3, 4, 6\}$ ，则如图中的阴影部分表示（）

A、 $\{3, 4\}$ B、 $\{1\}$ C、 $\{2, 6\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4, 6\}$

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20、已知函数 $f (x) = a e^{x - 1} - x - 1$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $f (x) + x - ln x \geq 0$ 恒成立时，求 $a$ 的取值范围；

(3)、证明： $\sum_{i = 1}^{n} e^{\frac{1}{i}} > \ln (n + 1) + n$ .

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