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相关试卷

1、已知甲罐中有四个相同的小球，标号为 $1, 2, 3, 4$ ，乙罐中有三个相同的小球，标号为 $1, 2, 3$ ，从甲罐，乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件 $A =$ “抽取的两个小球标号之和大于6”，事件 $B =$ “抽取的两个小球标号之积小于6”，则下列说法错误的是（）

A、事件 $A$ 发生的概率为 $\frac{1}{12}$ B、事件 $A, B$ 相互独立 C、事件 $A, B$ 是互斥事件 D、事件 $A \cup B$ 发生的概率为 $\frac{2}{3}$

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2、已知点 $A (2, 1), B (- 1, 4)$ ，则直线 $A B$ 的倾斜角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $135^{\circ}$

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3、中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ 求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 $a + b = 10$ ， $c = 6$ ，则此三角形面积的最大值为．

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4、已知集合 $A = \{x ∣ 0 \leq x \leq a\}$ ，集合 $B = \{x ∣ m^{2} + 3 \leq x \leq m^{2} + 4\}$ ，如果命题“ $\exists m \in R$ ， $A \cap B \neq \emptyset$ ”为假命题，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 ${a ∣ a < 3}$ B、 ${a ∣ a < 4}$ C、 ${a ∣ 1 < a < 5}$ D、 ${a ∣ 0 < a < 4}$

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5、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $A_{1} D_{1}$ 的中点，则点 $C_{1}$ 到直线 $C E$ 的距离为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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6、已知函数 $f (x) = \sqrt{x + 3} + \frac{1}{x + 2}$ ，

(1)、求函数的定义域；

(2)、求 $f (- 3), f (\frac{2}{3})$ 的值；

(3)、当 $a > 0$ 时，求 $f (a)$ ， $f (a - 1)$ 的值．

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7、 $2^{\log_{2} 3} + {(\frac{1}{2})}^{- 2} =$ ．

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8、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则（）．

A、ab的最大值为 $\frac{1}{4}$ B、 $a^{2} + b^{2}$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为9 D、 $2^{a} + 2^{b}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$

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9、声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最小声强为 $I_{0} = 10^{- 12}$ （瓦/平方米）.在某特殊介质的实验中对于一个声音的声强 $I$ ，用声强 $I$ 与 $I_{0}$ 比值的常用对数来表示声强 $I$ 的“声强级数n”，即 $n = \lg I - \lg I_{0}$ ，则“声强级数8”的声强是“声强级数5”的声强的（）

A、20倍 B、 $\lg 200$ 倍 C、100倍 D、1000倍

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10、在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为 $α (0 < α < 1)$ ，收到0的概率为 $1 - α$ ；发送1时，收到0的概率为 $β (0 < β < 1)$ ，收到1的概率为 $1 - β$ . 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.

A、采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 $(1 - α) {(1 - β)}^{2}$ B、采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 $β {(1 - β)}^{2}$ C、采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 $β {(1 - β)}^{2} + {(1 - β)}^{3}$ D、当 $0 < α < 0.5$ 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n} = \frac{1}{3} (1 - a_{n}) (n \in N^{*})$ ．若 $2 + b_{n} = 3 \log_{\frac{1}{4}} a_{n}$ ，且数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ．

(1)、求证：数列 $\{b_{n}\}$ 是等差数列；

(2)、求证：数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n} < \frac{2}{3}$ ；

(3)、若 $c_{n} \leq \frac{1}{4} (t^{2} + t - 1)$ 对一切 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围．

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12、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $sin C sin (A - B) = sin B sin (C - A)$ ．

(1)、求A取值的范围；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值；

(3)、若 $b = 2, A = 2 B$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} + 2 x + 3, x \leq 0 \\ l n x, x > 0 \end{matrix}$ ，若存在实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = a$ ，则 $x_{3} (x_{1} + x_{2} + ln x_{3})$ 的最大值为.

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14、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $b \cos C + c \cos B = 2 a \cos A$ ，若 $△ A B C$ 的中线 $A D = \sqrt{3}$ ，且 $b + c = 4$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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15、若曲线 $y = a x^{2}$ 与 $y = \ln x$ 有一条斜率为2的公切线，则 $a =$ .

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16、已知函数 $f (x) = a {(x - a)}^{2} (x - b) （ a \neq 0)$ 的极大值点为 $x = a$ ，则（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $a^{2} < a b$ C、若 $f^{'} (x_{1}) = f^{'} (x_{2}) = 0$ ，则 $x_{1} + x_{2} > 0$ D、若 $f^{'} (x_{1}) = f^{'} (x_{2}) = 0$ ，则 $x_{1} x_{2} > 0$

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17、已知在一次数学测验中，某校1000学生的成绩服从正态分布 $N (100, 100)$ ，其中90分为及格线，120分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有(参考数据：① $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6827$ ；② $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ；③ $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9973.)$ （）

A、标准差为100 B、及格率超过 $86 %$ C、得分在 $(70, 130]$ 内的人数约为997 D、得分低于80的人数和优秀的人数大致相等

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18、将函数 $y = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象向右平移 $m (m > 0)$ 个单位长度，得到的图象对应的函数 $y = f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}]$ 上单调递减，则m的最小值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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19、如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为 $m$ ，圆柱的表面积与球的表面积之比为 $n$ ，则 ${(\frac{n}{m} x - \frac{1}{x^{2}})}^{6}$ 的展开式中的常数项是（）

A、 $- 15$ B、 $- 20$ C、15 D、20

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20、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，虚轴长为 $4 \sqrt{2}$ ，离心率为 $\sqrt{2}$ ，过 $C$ 的左焦点 $F_{1}$ 作直线 $l$ 交 $C$ 的左支于A、B两点.

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、若 $|A F_{1}| = 4 \sqrt{2}$ ，求 $∠ F_{1} A F_{2}$ 的余弦值；

(3)、若 $M (- 2, 0)$ ，试问：是否存在直线 $l$ ，使得点 $M$ 在以 $A B$ 为直径的圆上？请说明理由.

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