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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1, a_{n + 1} \cdot \sqrt{1 + 4 a_{n}^{2}} = a_{n}$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 成立，令 $b_{n} = a_{n}^{2} \cdot a_{n + 1}^{2}, S_{n}$ 是数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和，若 $S_{n} < \frac{t}{31}$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 恒成立，则整数t的最小值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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2、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F (- c, 0)$ ，上顶点为A，在以点F为圆心，c为半径的圆上存在点M，使得直线 $A M$ 的斜率为 $\frac{4}{3}$ ，则椭圆C的离心率的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{3}, 1)$ B、 $(0, \frac{1}{3}]$ C、 $[\frac{\sqrt{10}}{10}, 1)$ D、 $(0, \frac{\sqrt{10}}{10}]$

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 2$ ， $a_{m + n} = a_{m} a_{n}$ 对任意的 $m$ 、 $n \in N^{*}$ 恒成立，若 $a_{k} + a_{k + 1} + \dots + a_{k + 9} = 2^{16} - 2^{6}$ ，则 $k =$ （）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $7$

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4、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A = 2$ ， $A B = 1$ ，则直线 $P C$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{9}$

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5、数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = 3 n - 25$ ，则当该数列的前n项和 $S_{n}$ 取得最小值时n的值为（）

A、9 B、8 C、8或9 D、7或8

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6、将正奇数按照如图排列，我们将 $3, 7, 13, 21, 31$ ……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（）

A、55 B、75 C、111 D、135

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7、若直线 $l_{1} : (m - 1) x + y + 2 = 0$ 与直线 $l_{2} : 2 x + m y + 4 = 0$ 平行，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- 1$ 或 $2$ C、 $2$ D、 $1$

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8、过抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 焦点的直线与 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，则 $|A B|$ 的最小值是（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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9、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $2 b cos C = a c - 2 c cos B$ .

(1)、求 $c$ ；

(2)、若 $D$ 为 $A B$ 中点， $C D = \sqrt{2}$ ， $∠ A C B = 60^{\circ}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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10、在直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线 $y = k x + 1$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $A, B$ 两点，则 $△ A O B$ 的面积的最大值为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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11、空间四边形OABC中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点M在OA上， $\vec{O M} = \frac{2}{3} \vec{O A}$ ，点N为BC的中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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12、已知三次函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 1$ 在 $x = - \frac{1}{3}$ 处取到极值 $\frac{32}{27}$ ．

(1)、求 $a, b$ ；

(2)、若函数 $h (x) = 2 x^{2} + 8 x + n$ 与 $f (x)$ 在 $[- 2, 1]$ 上有两个交点，求实数 $n$ 的取值范围；

(3)、证明：当 $m > - \frac{4}{3}$ 时，函数 $f (x)$ 的图象上存在两条与直线 $x + m y = 0$ 垂直的切线．

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13、已知边长为4的菱形 $A B C D$ （如图1）， $∠ B A D = \frac{π}{3}, A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O, E$ 为线段 $A O$ 上一点，将三角形 $A B D$ 沿 $B D$ 折叠成三棱锥 $A - B C D$ （如图2）．

(1)、证明： $B D ⊥ C E$ ；

(2)、若三棱锥 $A - B C D$ 的体积为8，二面角 $B - C E - O$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{10}$ ，求 $O E$ 的长．

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14、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比 $q \in (0, 1)$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．若 $S_{3} + a_{3} = 1$ ，且 $a_{2} + \frac{1}{16}$ 是 $a_{1}$ 与 $a_{3}$ 的等差中项

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、设数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 0, b_{n + 1} - b_{n} = a_{n} (n \in N^{*})$ ，数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．求 $T_{n}$ ．

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15、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对边的长分别为 $a, b, c$ ，且满足 $b \sin A = a \cos \frac{A + C}{2}$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{5}, \vec{B A} \cdot \vec{C B} = 3$ ， $B D$ 是 $△ A B C$ 的中线，求 $B D$ 的长．

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16、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cdot \sin (x + \frac{π}{6})$ ，则当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时 $f (x)$ 的最大值为．

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17、已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为 $r_{2}$ 和 $r_{1}$ ，母线长分别为 $2 (r_{1} - r_{2})$ 和 $3 (r_{1} - r_{2})$ ，则两个圆的体积之比 $\frac{V_{甲}}{V_{乙}} =$ ．

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18、数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与 $\sqrt{{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2}}$ 相关的代数问题，可以转化为点 $A (x, y)$ 与点 $B (a, b)$ 之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} + 4 x + 5} + \sqrt{x^{2} - 4 x + 5}$ ，下列结论正确的是（）

A、方程 $f (x) = 5$ 无解 B、方程 $f (x) = 6$ 有两个解 C、 $f (x)$ 的最小值为 $2 \sqrt{5}$ D、 $f (x)$ 的最大值为 $6 \sqrt{5}$

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19、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{1} = - 1$ ，且 $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{n + 2} > a_{n}$ ，则（）

A、 $a_{2} > 0$ B、 $0 < q < 1$ C、 $a_{n + 1} > a_{n}$ D、 $S_{n} < \frac{1}{q - 1}$

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20、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点M是棱 $D D_{1}$ 上的动点（不含端点），则（）

A、过点M有且仅有一条直线与AB， $B_{1} C_{1}$ 都垂直 B、有且仅有一个点M到AB， $B_{1} C_{1}$ 的距离相等 C、过点M有且仅有一条直线与 $A C_{1}$ ， $B B_{1}$ 都相交 D、有且仅有一个点M满足平面 $M A C_{1} ⊥$ 平面 $M B B_{1}$

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