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相关试卷

1、已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $\ln \sqrt{2 y + 1} + y = 2$ ， $e^{x} + x = 5$ ，则 $x + 2 y =$ .

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2、若关于 $x$ 的不等式 $k \cdot 3^{x} < 9^{x} - 3^{x} - 2$ 对任意 $x \geq 1$ 恒成立，则实数 $k$ 的取值范围为.

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3、弧长为 $4 π$ 的扇形的圆心角为 $\frac{π}{3}$ ，则此扇形的面积为．

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4、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $g (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且 $f (x)$ ， $g (x)$ 在 $(- \infty, 0]$ 上单调递减，则下列说法正确的是（）

A、 $g (g (- 1)) < g (g (2))$ B、 $g (f (- 1)) < g (f (2))$ C、 $f (g (1)) > f (g (2))$ D、 $f (f (1)) < f (f (2))$

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} k x + 1, x \leq 0 \\ ln x, x > 0 \end{array}$ ，下列关于函数 $y = f [f (x)] + 1$ 的零点个数判断正确的是（）

A、当 $k < 0$ 时，有1个零点； B、当 $k > 0$ 时，有4个零点； C、无论 $k$ 取何值，均有2个零点； D、无论 $k$ 取何值，均有4个零点；

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6、已知正实数x，y满足 $x + y = 4$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $e^{x} + e^{y}$ 的最小值为 $2 e^{2}$ B、 $\lg x + \lg y$ 的最大值为 $\lg 4$ C、 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为8 D、 $x (y + 4)$ 的最大值为16

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7、下列函数既是偶函数，又在 $(- \infty, 0)$ 上是减函数的是（）

A、 $y = x^{\frac{4}{5}}$ B、 $y = 3^{|x|}$ C、 $y = \lg (x^{2} + 1)$ D、 $y = x - \frac{1}{x}$

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8、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，若对任意 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，均有 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 且 $f (3) = 3$ ，则不等式 $f (x) - x > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 3, 0) \cup (3, + \infty)$ B、 $(- 3, 3)$ C、 $(- \infty, - 3) \cup (3, + \infty)$ D、 $(- 3, 0) \cup (0, 3)$

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9、角 $α$ 的终边属于第一象限，那么 $\frac{α}{3}$ 的终边不可能属于的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10、已知角 $α$ 的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (2 a, a - 2)$ ，且 $\cos α = \frac{4}{5}$ ，则实数 $a$ 的值是（）

A、 $- 4$ 和 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- 4$ D、 $1$

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11、函数 $f (x) = \frac{2 x^{3}}{2^{x} - 2^{- x}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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12、“ $x = 2 k π + \frac{π}{3}$ ， $k \in Z$ ”是 $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、集合 $A = \{x ∣ \frac{1}{8} < 2^{x} < 2\}, B = \{x ∣ {log}_{0.3} x > 1\}$ ，则 $A, B$ 间的关系是（）

A、 $A \cup B = R$ B、 $B \subseteq A$ C、 $A \cap B = \emptyset$ D、 $A \cup B = B$

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14、已知函数 $f (x) = \frac{|x + a|}{b x^{2} + 4}$ 为 $[- b - 1, 2 b]$ 上的偶函数.

(1)、求实数a，b的值；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $[0, 2]$ 上的单调性，并用定义证明；

(3)、若 $f (1 - 2 m) > \frac{1}{5}$ ，求实数m的取值范围.

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15、为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为 $2$ 万元，每生产 $x$ 万件需另投入流动成本 $c (x)$ 万元，其中 $c (x)$ 与 $x$ 之间的关系为： $c (x) = \{\begin{cases} \frac{1}{3} x^{2} + 2 x, 0 < x \leq 8, x \in N^{*} \\ 7 x + \frac{c}{x - 1} - 37, x > 8, x \in N^{*} \end{cases}$ ，且函数 $c (x)$ 的图象过点 $C (21, 115)$ .每件产品售价为 $6$ 元，假设小王生产的商品当年全部售完．

(1)、写出年利润 $L (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （万件）的函数解析式（注：年利润 $=$ 年销售收入 $-$ 固定成本 $-$ 流动成本）；

(2)、当年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大年利润是多少？

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16、已知 $120^{\circ}$ 的圆心角所对的弧长为 $2 π$ ，则这个扇形的面积为.

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17、生物丰富度指数 $d = \frac{S - 1}{ln N}$ 是河流水质的一个评价指标，其中 $S$ ， $N$ 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数 $d$ 越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数 $S$ 没有变化，生物个体总数由 $N_{1}$ 变为 $N_{2}$ ，生物丰富度指数由2提高到3，则（）

A、 $3 N_{2} = 2 N_{1}$ B、 $2 N_{2} = 3 N_{1}$ C、 $N_{2}^{2} = N_{1}^{3}$ D、 $N_{2}^{3} = N_{1}^{2}$

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18、在单位圆中，已知角 $α$ 是第二象限角，它的终边与单位圆交于点 $P (- \frac{3}{5}, y)$ ，则 $sin α =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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19、已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的定义域分别为D₁和D₂ ，若对任意 $x_{0} \in D_{1}$ ，恰好存在n个不同的实数 $x_{1}, x_{2} \dots, x_{n} \in D_{2}$ ，使得 $g (x_{i}) = f (x_{0})$ （其中 $i = 1, 2, \dots, n$ ， $n \geq 1$ ， $n \in N^{*}$ ），则称 $g (x)$ 为 $f (x)$ 的“n重覆盖函数”.

(1)、试判断 $g (x) = |x|$ 是否为 $f (x) = x^{2} - 1$ 的“2重覆盖函数”？请说明理由；

(2)、若 $g (x) = \{\begin{matrix} |2^{x} - a|, & - 2 \leq x \leq 1 \\ x - 1, & x > 1 \end{matrix}$ 为 $f (x) = \log_{2} \frac{2^{x} + 2}{2^{x} + 1}$ 的“2重覆盖函数”，求实数a；

(3)、函数 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，如 $[1.2] = 1$ ， $[2] = 2$ ， $[- 1.2] = - 2$ . $h (x) = a x - [a x]$ ， $x \in [0, 2)$ ，若 $h (x)$ 为 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ ， $x \in [0, + \infty)$ 的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围.

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20、现定义了一种新运算“ $\oplus$ ”：对于任意实数x，y，都有 $x \oplus y = \log_{a} (a^{x} + a^{y})$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）．

(1)、当 $a = 2$ 时，计算 $4 \oplus 4$ ；

(2)、证明： $\forall x$ ， $y$ ， $z \in R$ ；都有 $(x \oplus y) \oplus z = x \oplus (y \oplus z)$ ；

(3)、设 $m = \log_{a} (x^{2} - 3 a x + 2 a^{2})$ ，若 $f (x) = m \oplus m - \log_{a} 2$ 在区间 $[s, t] (0 < s < t < a)$ 上的值域为 $[\log_{a} t, \log_{a} s]$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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