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相关试卷

1、如图，圆锥的轴截面 $A B C$ 为等边三角形， $D$ 为弧 $A B$ 的中点， $E, F$ 分别为母线 $B C ､ A C$ 的中点，则异面直线 $B F$ 和 $D E$ 所成角的大小为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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2、要得到函数 $y = sin (4 x - \frac{π}{3})$ 的图象，只需将函数 $y = sin 4 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度

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3、已知 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A、若 $m ⊥ α, m$ $∥$ $β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $m$ $∥$ $α, m$ $∥$ $β$ ，则 $α$ $∥$ $β$ C、若 $m ⊥ α, α ⊥ β$ ，则 $m$ $∥$ $β$ D、若 $m$ $∥$ $n, n$ $∥$ $α$ ，则 $m$ $∥$ $α$

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4、已知向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角为 $120^{\circ}$ ，且 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 5$ ，则 $(2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a} =$ （）

A、12 B、 $8 + \sqrt{13}$ C、4 D、13

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5、在空间直角坐标系中，点 $P (2, 3, 4)$ 关于平面 $x O z$ 对称的点的坐标为（）

A、 $(2, 3, 4)$ B、 $(- 2, 3, 4)$ C、 $(2, - 3, 4)$ D、 $(- 2, - 3, 4)$

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6、猪血木又名阳春红檀，是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物．某地引种猪血木1000株，假设该地的猪血木数量以每年 $10 %$ 的比例增加，且该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过 $n (n \in N^{*})$ 年，则 $n =$ （）（参考数据： $lg 2 \approx 0.3, lg 11 \approx 1.04$ ）

A、8 B、9 C、7 D、6

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (2 a - 3) x + 2, x \leq 1 \\ \log_{a} x, x > 1 \end{array}$ 是 $R$ 上的减函数，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $0 < a < \frac{3}{2}$ B、 $\frac{1}{2} \leq a < 1$ C、 $0 < a \leq \frac{3}{2}$ D、 $\frac{1}{2} < a < 1$

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8、椭圆 $E : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作直线 $l_{1}$ 交E于 $A, B$ 两点．过 $F_{2}$ 作垂直于直线 $l_{1}$ 的直线 $l_{2}$ 交E于 $C, D$ 两点．直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交于点P．

(1)、若直线 $l_{1}$ 的斜率为1，求直线 $l_{2}$ 的方程．

(2)、求点P的轨迹方程．

(3)、求四边形 $A C B D$ 面积的取值范围．

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9、已知集合 $A = \{x | 0 ＜ a x + 1 ＜ 4\}$ ， $B = \{x | y = \sqrt{8 - 2^{x}}\}$ .

(1)、若 $2 \in A$ ， $a \in N^{*}$ ，求 $∁_{R} A$ ；

(2)、若 $A \subseteq B$ ， $a > 0$ ，求正数 $a$ 的取值范围．

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10、设数列 $\{a_{n}\}$ 是一个无限数列，若对于一个给定的正整数 $k$ ，不等式 $a_{n - k} + a_{n + k} > 2 a_{n}$ 对每一个大于 $k$ 的正整数 $n$ 都成立，则称 $\{a_{n}\}$ 是 $k$ 阶友好数列.

(1)、若 $a_{n} = n^{2} + 3 n + {(- 1)}^{n}$ ，证明： $\{a_{n}\}$ 是2阶友好数列，但不是1阶友好数列.

(2)、若 $\{a_{n}\}$ 是1阶友好数列， $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.
证明：① $a_{n + 2} - a_{n + 1} > a_{2} - a_{1}$ ；
② $(n + 2) (a_{1} + a_{n + 2}) > 2 S_{n + 2}$ .

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11、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A P ⊥$ 平面 $A B C$ ， $D$ ， $M$ 分别是 $B C$ ， $P B$ 的中点， $A P = A C = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $A D = \sqrt{3}$ .延长 $A D$ 至点 $E$ ，使得 $A E = 2 A D$ ，连接 $M E$ .

(1)、证明： $M E ⊥ B C$ ；

(2)、求二面角 $B - A M - E$ 的余弦值；

(3)、若点 $N$ ， $Q$ 分别是直线 $A E$ ， $P C$ 上的动点，求 $N Q$ 的最小值.

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12、已知函数 $f (x) = 2 \ln x + (t - 1) x^{2} + 1$ .

(1)、若 $t = \frac{1}{2}$ ，求证： $f (x) < 1$ ；

(2)、若 $t \in Z$ 且 $f (x) + 2 t x < 0$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，求 $t$ 的最大值.

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13、如图，椭圆的中心在原点，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $A, C$ 为椭圆上两点（均位于 $x$ 轴上方），且满足 $A F_{1} // C F_{2}$ ， $△ A F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为2，椭圆的离心率小于 $\frac{1}{2}$ ，且椭圆的四个顶点围成的四边形周长为12.

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、求证： $\frac{1}{|A F_{1}|} + \frac{1}{|C F_{2}|}$ 为定值.

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14、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = \frac{2}{3} b c$ ， $3 \sin A = 4 \cos B$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为 $4 \sqrt{2} + 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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15、过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点 $F_{1} (- c, 0)$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$ ， $P$ 为 $l$ 上一动点，已知 $M (- \frac{a^{2}}{c}, 0)$ ， $N (\frac{a^{2}}{c}, 0)$ ，若 $\sin ∠ M P N$ 的最大值为 $\frac{2}{3}$ ，则双曲线的离心率为.

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16、甲、乙两人进行某项比赛，已知每局比赛甲获胜的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，没有平局，各局比赛的结果互不影响.约定当一方胜的局数比另一方多两局时即可获胜，比赛结束.设最终比赛局数为 $X$ ，则 $P (X = 6) =$ .

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17、函数 $f (x) = (x + 1) e^{x}$ 的图象在点 $(0, f (0))$ 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为.

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18、如图，已知圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，过原点 $O$ 作射线 $O T$ 交圆 $C$ 于点 $A$ （异于 $O$ 点），交直线 $x = 2$ 于点 $B$ （异于点 $A$ ），再以 $O$ 为圆心、线段 $A B$ 的长为半径作圆与射线 $O T$ 交于点 $M$ ，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $E$ .设 $| O M | = r$ ， $∠ T O C = θ$ ，则下列说法正确的是（）

A、曲线 $E$ 上所有点的横坐标的取值范围是 $(0, 2)$ B、 $r = \frac{2 \sin^{2} θ}{\cos θ}$ C、曲线 $E$ 的方程为 $y^{2} = \frac{x^{2}}{2 - x}$ D、过点 $M$ 且与 $O M$ 垂直的直线必与抛物线 $y^{2} = - 8 x$ 相切

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19、已知函数 $f (x) = a x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - x (a \in R)$ 在 $x = \frac{1}{2}$ 处取得极值，则下列说法正确的是（）

A、若 $f (x)$ 在 $(3 t, t + 1)$ 上单调递增，则实数 $t$ 的取值范围是 $(- \infty, - 2] \cup [\frac{1}{6}, \frac{1}{3}]$ B、 $f (x)$ 有3个零点 C、 $f (x)$ 在 $[- 2, 1]$ 上的最小值为 $- \frac{4}{3}$ D、 $f (x + 1) > f (x - \frac{3}{2})$ 在R上恒成立

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20、下列说法正确的是（）

A、数据 $5$ 、 $8$ 、 $10$ 、 $12$ 、 $13$ 的第 $40$ 百分位数是 $9$ B、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ， $P (X < - 2) = P (X > 4) = 0.14$ ，则 $P (- 2 < X < 1) < 0.35$ C、 $20$ 张彩票中只有 $2$ 张能中奖，现从中一次性抽取 $n$ 张，若其中至少有一张中奖的概率大于 $0.5$ ，则 $n$ 的最小值为 $6$ D、已知数据 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $\dots$ 、 $x_{6}$ 的平均数为 $6$ ，方差为 $10$ ，现加入 $5$ 和 $7$ 两个数，则这 $8$ 个数的方差 $s^{2} < 8$

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