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相关试卷

1、若 $\cos^{5} θ - \sin^{5} θ < 3 (\sin^{3} θ - \cos^{3} θ)$ 且 $θ \in [0, 2 π)$ ，则 $θ$ 的取值范围为.

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2、已知正数 $x, y$ 满足 $x + y - x y + 3 = 0$ ，则 $x y$ 的最小值为．

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3、已知 $\sin α = - \frac{3}{5}$ ， $α \in (- \frac{π}{2}, 0)$ ，求 $\cos (\frac{π}{4} - α)$ 的值.

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4、已知集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{x| |x - 1| > 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{2, 3\}$ B、 $\{2\}$ C、 $\{3\}$ D、 $\emptyset$

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5、如图，在空间几何体 $A B C D E F$ 中，平面 $A B C$ $∥$ 平面 $D E F, B F$ $∥$ $C E, B F ⊥$ 平面 $A B C, B C = E F = 4 \sqrt{2}, C E = 2, ∠ E D F = ∠ B A C = \frac{π}{2}$ ，则几何体 $A B C D E F$ 的外接球的体积为.

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6、已知 $A$ ， $B$ ， $C$ 是抛物线 $y^{2} = 12 x$ 上三个动点，且 $△ A B C$ 的重心为抛物线的焦点 $F$ ，则 $△ A B C$ 的三条中线的长度之和为.

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7、如图所示，已知 $A$ 船在灯塔 $C$ 北偏东 $80 °$ 的方向，且 $A$ ， $C$ 间的距离为2km， $B$ 船在灯塔 $C$ 北偏西 $40 °$ 的方向，且 $A$ ， $B$ 两船间的距离为3km，则 $B$ ， $C$ 间的距离为km.

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8、对于椭圆： $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，我们称双曲线： $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ 为其伴随双曲线.已知椭圆 $C : \frac{y^{2}}{3} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < \sqrt{3})$ ，它的离心率是其伴随双曲线 $Γ$ 离心率的 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 倍.

(1)、求椭圆 $C$ 伴随双曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、点 $F$ 为 $Γ$ 的上焦点，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $Γ$ 上支交于 $A, B$ 两点，设 $△ A B O$ 的面积为 $S$ ， $∠ A O B = θ$ （其中 $O$ 为坐标原点）.若 $|A B| = 6 \sqrt{3}$ ，求 $\frac{S}{\tan θ}$ .

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9、已知四棱锥 $P - A B C D, P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形， $A B = 2, P A = A D = 4, E$ 为 $P A$ 的中点， $F$ 为 $C D$ 上一点，若 $P F$ 与平面 $B E F$ 所成角的正弦值为 $\frac{8}{33}$ ，则 $C F =$ ．

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10、已知 $\vec{a} = (1, 0, - 1), \vec{b} = (2, 1, 1)$ ，则 $3 \vec{a} + \vec{b} =$ .

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11、已知 $\{a_{n}\}$ 是各项均为正数的等比数列， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{3}, 3 a_{2}, a_{4}$ 成等差数列.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式.

(2)、设 $b_{n} = a_{n} + {log}_{2} a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.

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12、侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图是由无数个正方形环绕而成的，且每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外边最近一个正方形四条边的三等分点上．设外围第一个正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的边长为1，往里第二个正方形为 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ ， …，往里第 $n$ 个正方形为 $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ ．那么第7个正方形的周长是，至少需要前个正方形的面积之和超过2．（参考数据： $\lg 2 = 0.301$ ， $\lg 3 = 0.477$ ）．

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13、如图所示，CD是某校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像的高度，在学校教学楼AB（高为 $(15 \sqrt{3} - 15)$ 米）与雕像之间的地面上的点M处（B，M，D三点共线）测得楼顶A及雕像顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处又测得雕塑顶C的仰角为30°，假设AB､CD和点M在同一平面内，则小明估算该雕像的高度为米．

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14、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{10} - S_{3} = 35, a_{3} + a_{10} = 7$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为.

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15、设复数 $z$ 满足 $\frac{z}{1 - 2 i} = 1 + 3 i$ ，则它的共轭复数 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、1 B、 $i$ C、 $- 1$ D、 $- i$

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16、对于 $△ A B C$ ，若存在 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，满足 $\frac{\sin A}{\cos A_{1}} = \frac{\sin B}{\cos B_{1}} = \frac{\sin C}{\cos C_{1}} = 1$ ，则称 $△ A B C$ 为“ $Λ$ 类三角形”，则“ $Λ$ 类三角形”一定满足有一个内角为定值，为.

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17、已知 $\sin (θ - \frac{π}{3}) = - \frac{1}{3}$ ，且 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $\cos (\frac{2 π}{3} + θ) =$ ．

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18、已知实数m，n满足 $2^{m} = 9^{n} = 18$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} =$ ．

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19、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 是以 $A C$ 为斜边的等腰直角三角形，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 为菱形， $∠ A_{1} A C = 60 °$ ， $A_{1} B = A_{1} A = 2$ ．

(1)、证明：平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $E$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 中点，求直线 $C E$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的余弦值．

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20、春节是中华民族的第一大节，在中华文明史上有着重要地位.2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.据不完全统计，如今有近20个国家和地区将春节作为法定节假日，春节民俗活动已走进近200个国家和地区，成为全球文化盛事.四川省南充市阆中市是中国传统节日——春节的发源地.阆中不仅在历史上对春节文化的形成有着重要贡献，至今仍保留着丰富的春节庆祝活动.每年的春节期间，阆中会举行各种传统民俗活动，如舞龙、舞狮、打鼓、唱歌、书法展览和民间艺术表演等，这些活动展现了浓厚的年味和地方文化特色.为了促进阆中旅游业的发展，阆中市文旅局计划在阆中古城开发新的游玩项目，全年需投入固定成本500万元，若该项目在2025年接待x万名游客，则需追加管理及维修成本 $g (x)$ 万元，且 $g (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 20 x + 100, 0 \leq x < 40, 100 x \in N \\ \frac{165}{2} x + \frac{9000}{x} - 1150, 40 \leq x \leq 100, 100 x \in N \end{array}$ ，该游玩项目的每张门票售价为80元．

(1)、求2025年该项目的利润 $W (x)$ （万元）关于游客数量x（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）；

(2)、当2025年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？

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