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相关试卷

1、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差 $d < 0, a_{5} a_{7} = 35, a_{4} + a_{8} = 12$ ，记该数列的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{n}$ 的最大值为（）

A、66 B、72 C、132 D、198

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2、已知 $a > b > c > 0$ ，则（）

A、 $a + c > 2 b + c$ B、 $a c < b c$ C、 $\frac{a}{a + c} > \frac{b}{b + c}$ D、 $a^{c} < b^{c}$

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3、抛物线C： $y = x^{2} - 4$ ，椭圆M： $4 x^{2} + y^{2} = 4 r^{2}$ ， $r > 0$ ．

(1)、若抛物线C与椭圆M无公共点，求实数r的取值范围；

(2)、过抛物线上点 $A (- \sqrt{2}, - 2)$ 作椭圆M的两条切线分别交抛物线C于点P，Q，当 $r \in [1, \frac{\sqrt{10}}{2}]$ 时，求 $△ A P Q$ 面积的最小值．

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4、物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数 $f (x)$ ，若满足 $(x_{n + 1} - x_{n}) f^{'} (x_{n}) + f (x_{n}) = 0$ ，则称数列 $\{x_{n}\}$ 为牛顿数列．已知 $f (x) = x^{4}$ ，如图，在横坐标为 $x_{1} = 1$ 的点处作 $f (x)$ 的切线，切线与x轴交点的横坐标为 $x_{2}$ ，用 $x_{2}$ 代替 $x_{1}$ 重复上述过程得到 $x_{3}$ ，一直下去，得到数列 $\{x_{n}\}$ ．

(1)、求数列 $\{x_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{n \cdot x_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且对任意的 $n \in N *$ ，满足 $S_{n} \geq 16 - λ {(\frac{5}{6})}^{n}$ ，求整数 $λ$ 的最小值．（参考数据： ${0.9}^{4} = 0.6561$ ， ${0.9}^{5} \approx 0.5905$ ， ${0.9}^{6} \approx 0.5314$ ， ${0.9}^{7} \approx 0.4783$ ）

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5、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是边长为2的菱形， $A C$ 交 $B D$ 于O， $∠ D A B = 60 °$ ， $P A = P O = \frac{1}{2} A C$ ， $P O ⊥ B D$ ．

(1)、求P到平面 $A B C D$ 的距离；

(2)、求钝二面角 $A - P B - C$ 的余弦值．

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6、已知函数 $f (x) = x^{2} - (2 a + 1) x + a \ln x + a$ $(a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(0, 2)$ 内存在两个极值点，求实数a的取值范围．

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7、已知圆M： ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ ，圆N经过点 $O (0, 0)$ ， $A (2, 0)$ ， $B (0, 2)$ ．

(1)、求圆N的标准方程，并判断两圆位置关系；

(2)、若由动点P向圆M和圆N所引的切线长相等，求动点P的轨迹方程．

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8、记 $S_{n}$ 是公差为整数的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{5} - 1$ ， $a_{8} - 2$ ， $a_{12} - 3$ 成等比数列．

(1)、求 $a_{n}$ 和 $S_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} S_{n} = 1$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前20项和 $T_{20}$ ．

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9、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右焦点，过 $F_{2}$ 作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为N，直线 $F_{2} N$ 与双曲线C交于点 $M$ ，且 $M, N$ 均在第一象限，若 $5 |M N| = |M F_{1}|$ ，则双曲线C的离心率是．

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10、已知函数 $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 1$ 在某点处的切线的斜率不大于1，则切点为整点（横纵坐标均为整数）的个数是．

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11、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ ， $a_{1} = 1$ ，则 $a_{6} =$ ．

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12、已知 $⊙ M$ ： $x^{2} + y^{2} = 2 x - 4 y - 4$ 的圆心坐标为 $(a, b)$ ，半径为r，则 $a + b + r =$ ．

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13、已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = \sin x$ ，记 $u (x) = f (x) g (x)$ ， $v (x) = f (x) + a g (x)$ ，则（）

A、若正数 $x_{n}$ 为 $u (x)$ 的从小到大的第n个极值点 $(n \in N *)$ ，则 $\{x_{n}\}$ 为等差数列 B、若正数 $x_{n}$ 为 $u (x)$ 的从小到大的第n个极值点 $(n \in N *)$ ，则 $\{u (x_{n})\}$ 为等比数列 C、 $\forall a > 0$ ， $v (x)$ 在 $(- π, + \infty)$ 上有零点 D、 $\exists a < 0$ ， $v (x)$ 在 $(- π, + \infty)$ 上有且仅有一个零点

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14、已知直线l： $x = m y + 2 (m \in R)$ 与抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于A，B两点，O为坐标原点，则（）

A、若 $p = 4$ ，则 $∠ A O B < \frac{π}{2}$ B、若 $p = 4$ ，则 $|A B| = 8 (1 + m^{2})$ C、若 $p = 1$ ，则 $∠ A O B = \frac{π}{2}$ D、若 $p = 1$ ，则 $S_{△ A O B} = 2 \sqrt{m^{2} + 4}$

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15、如图，在正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A B = 2 A A_{1} = 2 A_{1} B_{1} = 2$ ，则（）

A、向量 $\vec{A A_{1}}$ ， $\vec{B B_{1}}$ ， $\vec{C C_{1}}$ 能构成空间的一个基底 B、 $\vec{A_{1} C_{1}}$ 在 $\vec{A B}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{A B}$ C、AC与平面 $A B C_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ D、点C到平面 $A B C_{1}$ 的距离是点 $A_{1}$ 到平面 $A B C_{1}$ 的距离的2倍

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16、记 $S_{n}$ 为无穷等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $- a_{1} < a_{2} < a_{1}$ ，则（）

A、 $q < 0$ B、 $a_{3} > 0$ C、数列 $\{S_{n}\}$ 为递减数列 D、数列 $\{S_{n}\}$ 有最小项

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17、在空间直角坐标系Oxyz中， $A (1, m, 2)$ ， $B (n, 0, 1)$ ，若直线AB与平面xOy交于点 $P (x, y, 0)$ ，点P的轨迹方程为 $\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，则 $|A B| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $3 \sqrt{2}$

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18、在平面直角坐标系xOy中，点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 在椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上，且直线OA，OB的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ ，则 $x_{1}^{2} - y_{1}^{2} + x_{2}^{2} - y_{2}^{2} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = 10 - 2 n$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 为等差数列，公差为 $- 2$ B、数列 $\{S_{n} + n^{2}\}$ 为等差数列，公差为8 C、当 $n \geq 5$ 时，数列 $\{|a_{n}|\}$ 的前n项和为 $S_{n} - 2 S_{5}$ D、当 $n \geq 5$ 时，数列 $\{|a_{n}|\}$ 的前n项和为 $- S_{n} + 2 S_{5}$

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20、已知 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，公比为q，前n项和为 $S_{n}$ ，则 $q S_{3} =$ （）

A、 $S_{4}$ B、 $S_{4} - S_{1}$ C、 $\frac{S_{4}}{q}$ D、 $\frac{S_{4} - S_{1}}{q}$

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