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相关试卷

1、已知在复数集中，等式 $x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = (x - z_{1}) (x - z_{2}) (x - z_{3}) (x - z_{4})$ 对任意复数 $x$ 恒成立，复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{3}$ ， $z_{4}$ 在复平面上对应的4个点为某个单位圆内接正方形的4个顶点， $\{a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}\} \subset \{n | 1 \leq n \leq 2024, n \in Z\}$ ，则满足条件的不同集合 $\{a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}\}$ 个数为．

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2、已知空间中三个单位向量 $\vec{O A_{1}}$ 、 $\vec{O A_{2}}$ 、 $\vec{O A_{3}}$ ， $\vec{O A_{1}} \cdot \vec{O A_{2}} = \vec{O A_{2}} \cdot \vec{O A_{3}} = \vec{O A_{3}} \cdot \vec{O A_{1}} = 0$ ， $P$ 为空间中一点，且满足 $|\vec{O P} \cdot \vec{O A_{1}}| = 1$ ， $|\vec{O P} \cdot \vec{O A_{2}}| = 2$ ， $|\vec{O P} \cdot \vec{O A_{3}}| = 3$ ，则点 $P$ 个数的最大值为．

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3、某地要建造一个市民休闲公园长方形 $A B C D$ ，如图，边 $A B = 2 km$ ，边 $A D = 1 km$ ，其中区域 $A D E$ 开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且 $A$ 、 $D$ 位于圆心 $O$ 的正北方向， $E$ 位于圆心 $O$ 的北偏东60°方向．拟定在圆弧 $P$ 处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边 $D C$ 、 $C B$ 开设两个门 $M$ 、 $N$ ，修建步行道 $P M$ 、 $P N$ 通往渔人码头，且 $P M ⊥ C D$ 、 $P N ⊥ C B$ ，则步行道 $P M$ 、 $P N$ 长度之和的最小值是 $km$ ．（精确到0.001）

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4、已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，双曲线上的点 $P$ 在第一象限，且 $P F_{2}$ 与双曲线的一条渐近线平行，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为．

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5、已知函数 $y = f (x)$ 的表达式为 $f (x) = \{\begin{cases} {(\frac{1}{2})}^{x} - 3, x \leq 0 \\ x^{2}, x > 0 \end{cases}$ ，则不等式 $f (x) \leq 1$ 的解集为．

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6、若等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{7} + a_{8} + a_{9} = 0$ ， $a_{7} + a_{10} = 1$ ，则 $a_{1} =$ ．

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7、已知实数 $a$ 、 $b$ 满足 $a + 2 b = 1$ ，则 $3^{a} + 9^{b}$ 的最小值为．

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8、在 $△ A B C$ 中， $B C = 5$ ， $∠ B = 45 °$ ， $∠ C = 105 °$ ，则 $A C =$ ．

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9、已知复数 $z_{1} = 3 + i$ ， $z_{2} = a + 4 i$ ， $a \in R$ ，若 $z_{1} - z_{2}$ 为纯虚数，则 $|z_{2}| =$ ．

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10、若对数函数 $y = \log_{a} x (a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象经过点 $(4, 2)$ ，则实数 $a =$ .

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11、如图，在四棱锥 $A - B C D E$ 中， $A C ⊥$ 平面 $B C D E$ ， $∠ B C D = 90^{\circ}$ ， $D E // B C$ ，且 $D E = C D = C A = 2$ ， $B C = 4$ ， M是AD的中点，N是AB的中点．

(1)、求证： $CM ⊥$ 平面ADE；

(2)、求直线CM与平面DEN所成角的正弦值．

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12、与曲线 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ 共焦点，且与双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ 共渐近线的双曲线的方程为（）

A、 $\frac{y^{2}}{12} - \frac{x^{2}}{8} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{8} - \frac{x^{2}}{12} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{12} = 1$

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13、已知空间向量 $\vec{a} = (1, m, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, 4, n)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $m + n =$ （）

A、 $- 4$ B、 $- 6$ C、 $4$ D、 $2$

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14、已知 $M (1, \frac{\sqrt{2}}{2}), N (\frac{- \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 是椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的两点．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过椭圆 $E$ 的上顶点 $A$ 和右焦点 $F$ 的直线与椭圆 $E$ 交于另一个点B，P为直线 $x = 2$ 上的动点，直线 $A P, B P$ 分别与椭圆 $E$ 交于 $C$ （异于点 $A$ ）， $D$ （异于点 $B$ ）两点，证明：直线 $C D$ 经过点 $F$ ．

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15、如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知 $A B / / C D, A D ⊥ C D$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} C D$ ．

(1)、求证： $C D ⊥ E D$ ；

(2)、求平面BDF与平面CDE夹角的余弦值；

(3)、线段上EC上是否存在点 $M$ ，使平面 $M D F ⊥$ 平面BDF？若存在，求出 $\frac{E M}{E C}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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16、某公司招聘销售员，提供了两种日工资结算方案：方案（1）每日底薪100元，每销售一单提成2元；方案（2）每日底薪200元，销售的前50单没有提成，从第51单开始，每完成一单提成4元．该公司记录了销售员的每日人均业务量，现随机抽取一个季度的数据，将样本数据分为 $[25, 35) 、 [35, 45) 、 [45, 55) 、 [55, 65) 、 [65, 75) 、 [75, 85) 、 [85, 95]$ 七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求直方图中 $a$ 的值；

(2)、若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘销售员做出日工资方案的选择，并说明理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；

(3)、假设该销售员选择了你在（2）中所选的方案，已知公司现有销售员400人，他希望自己的收入在公司中处于前40名，求他每日的平均业务量至少应达多少单？

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17、如图所示，椭圆的中心在原点，焦点 $F_{1}, F_{2}$ 在 $x$ 轴上， $A, B$ 是椭圆的顶点， $P$ 是椭圆上一点，且 $P F_{1} ⊥ x$ 轴， $P F_{2} / / A B$ ，则此椭圆的离心率是．

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{k^{2}} = 1 (0 < k < \frac{5}{2})$ 的两个焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 是椭圆 $C$ 上的动点，点 $Q$ 是圆 $E : {(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 2$ 上任意一点．若 $| P Q | + |P F_{2}|$ 的最小值为 $4 - \sqrt{2}$ ，则下列说法中正确的是（）

A、 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}|$ 的最小值为5 B、 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的最大值为5 C、存在点 $P$ 使得 $∠ F_{1} P F_{2} = 90^{°}$ D、 $| P Q | - |P F_{2}|$ 的最小值为 $3 \sqrt{2} - 6$

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19、下列说法错误的是（）

A、直线 $l : m x + y + 2 - m = 0$ 恒过定点 $(1, - 2)$ B、经过点 $P (2, 1)$ ，且在x，y轴上截距互为相反数的直线方程为 $x - y - 1 = 0$ C、直线 $l$ 过点 $P (1, 0)$ ，且与以 $A (2, 1), B (0, \sqrt{3})$ 为端点的线段有公共点，则直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围是 $- \sqrt{3} \leq k \leq 1$ D、已知直线 $l_{1}$ 过点 $A (3, a), B (a - 2, 3)$ ，直线 $l_{2}$ 过点 $C (2, 3), D (- 1, a - 2)$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = 0$ ．

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20、已知实数 $x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}$ 满足， $x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = 1, x_{2}^{2} + y_{2}^{2} = 1, x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$ ，则 $|x_{1} + y_{1} - 3| + |x_{2} + y_{2} - 3|$ 的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、 $4 \sqrt{2}$ D、8

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