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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = - x | x |$ ，则不等式 $f (1 - m) + f (1 - m^{2}) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(- 2, 1]$ D、 $(- \infty, - 2) \cup (1, + \infty)$

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2、函数 $f (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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3、函数 $y = f (x)$ 为定义在 $R$ 上的减函数，若 $a \neq 0$ ，则（）

A、 $f (a) > f (2 a)$ B、 $f (a^{2}) > f (a)$ C、 $f (a^{2} + a) < f (a)$ D、 $f (a^{2} + a) > f (a + 1)$

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4、汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5、“ $a > b$ ”是“ $a c^{2} > b c^{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、设全集 $U = \{- 2, - 1, 1, 2\}, A = \{- 1, 1\}, B = \{1, 2\}$ ，则 $∁_{U} (A \cup B) =$ （）

A、 $\{1, - 1, 2\}$ B、 $\{- 1, 2\}$ C、 $\{1\}$ D、 $\{- 2\}$

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7、已知函数 $f (x) = 4^{x} + \frac{a}{4^{x}} (a \neq 0)$

(1)、当 $a = 1$ 时，根据定义证明函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty ）$ 上单调递增.

(2)、若 $f (x)$ 有最小值4，求 $a$ 的值.

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8、如果 $3^{x^{2} - 3} < 9^{- x}$ ，则 $x$ 的取值范围为.

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9、某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（）

A、三项比赛都参加的有2人 B、只参加100米比赛的有3人 C、只参加400米比赛的有3人 D、只参加1500米比赛的有3人

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} a^{x} ， x \leq 2 \\ a x + 3 ， x > 2 \end{matrix}$ 是 $R$ 上的增函数，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a > 1$ B、 $1 < a < 3$ C、 $- 1 \leq a \leq 3$ D、 $1 < a \leq 3$

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11、已知 $f (x) = \frac{x}{e^{x} + a e^{- x}}$ 是偶函数，则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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12、不等式 $c x^{2} + a x + b > 0$ 的解集为 $\{x |- 1 < x < \frac{1}{2}\}$ ，则函数 $y = a x^{2} + b x - c$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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13、若函数 $f (x +1)$ 的定义域是 $\{x |- 1 < x < 0\}$ ，则函数 $f (x)$ 的定义域为（）

A、 $\{x |0 < x < 1\}$ B、 $\{x |- 2 < x < - 1\}$ C、 $\{x |- 1 < x < 0\}$ D、 $\{x |- 2 < x < 0\}$

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14、设集合 $A = \{x \in N |- 1 \leq x \leq 2\}$ ， $B = \{- 2, - 1, 0, 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ B、 $\{- 1, 0, 1\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{1\}$

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15、小方同学在阅读高等数学时发现两则定义，
定义1，设函数 $y = f (x)$ 是定义在区间I上的连续函数，若 $\forall x_{1}, x_{2} \in I$ ，都有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称 $y = f (x)$ 为区间I上的下凸函数．如图2．
定义2．设函数 $y = f (x)$ 是定义在区间I上的连续函数，若 $\forall x_{1}, x_{2} \in I$ ，都有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称 $y = f (x)$ 为区间I上的上凸函数．如图3．
例如，函数 $y = x^{3}$ 在 $(- \infty, 0]$ 为上凸函数，在 $[0, + \infty)$ 上为下凸函数．对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小方同学了解到了琴生不等式（Jensn不等式）：若是 $f (x)$ 区间 $[a, b]$ 上的下凸函数，则对任意的 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in [a, b]$ ，有不等式 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n}$ 恒成立（当且仅当 $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n}$ ，时等号成立）．结合阅读材料回答下面的问题：

(1)、已知 $g (x) = 2^{x}$ 为下凸函数，若 $g (m) + g (n) = 4$ ，求 $m + n$ 的最大值；

(2)、求证：二次函数 $f (x) = - x^{2} + b x + c$ 是上凸函数．

(3)、设 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} > 0$ ， $n \geq 2$ ，且 $x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} = 1$ ，求 $W = \frac{x_{1}}{1 - x_{1}} + \frac{x_{2}}{1 - x_{2}} + \dots + \frac{x_{n}}{1 - x_{n}}$ 的最小值．

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16、设函数 $f (x) = \frac{a x}{b + x^{2}} (a \neq 0, x > 0)$ ，满足：① $f (1) = \frac{1}{2}$ ；②对任意 $x > 0, f (x) = f (\frac{1}{x})$ 恒成立．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式，并写出单调区间．

(2)、设矩形ABCD的一边AB在x轴上，顶点C，D在函数 $f (x)$ 的图象上．设矩形ABCD的面积为S，求证： $0 < S < 1$ ．

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17、某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量 $P mg/L$ 与时间th间的关系为 $P = P_{0} e^{- k t}$ （其中 $P_{0}$ ， k是大于0的常数）．已知在前5个小时消除了10%的污染物．

(1)、求k的值；

(2)、求污染物减少50%需要花的时间（精确到 $0 .1h$ ）?参考数据： $\ln 2 \approx 0.69, \ln 3 \approx 1.10, \ln 5 \approx 1.61$

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18、设函数 $f (x) = a x^{2} + (1 - a) x + a - 2 (a \in R)$

(1)、若 $a = - 2$ ，求 $f (x) < 0$ 的解集．

(2)、若不等式 $f (x) \geq - 2$ 对一切实数x恒成立，求a的取值范围；

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19、写出一个同时具有下列性质①②③的函数 $f (x) =$ ．（答案不唯一）
① $\forall x_{1}, x_{2} \in R, \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ② $f (x y) = f (x) f (y)$ ③ $f (2) > 2$

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20、已知函数 $f (x) = \frac{1 - x}{1 + x}$ ，下列选项正确的是（）

A、 $\forall x \in \{x |x \neq - 1\}, f (\frac{1}{x}) = - f (x)$ B、函数 $f (x)$ 在定义域内是减函数 C、若 $x \in [0, 2]$ 时，则 $f (x)$ 的值域 $[- \frac{1}{3}, 1]$ D、 $f (x)$ 的图象关于 $(- 1, 1)$ 对称

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