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相关试卷

1、如图，设 $O x$ ， $O y$ 是平面内相交成 $60 °$ 角的两条数轴， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别是 $x$ 轴与 $y$ 轴正方向同向的单位向量，若向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量在斜坐标系 $x O y$ 中的坐标，记为 $\vec{O P} = (x, y)$

(1)、在斜坐标系 $x O y$ 中的坐标，已知 $\vec{a} = (x, y)$ ，求 $|\vec{a}|$

(2)、在斜坐标系 $x O y$ 中的坐标，已知 $\vec{a} = (\sin θ, 2)$ ， $\vec{b} = (\cos θ, 1)$ ， $(\frac{π}{4} \leq θ \leq \frac{π}{2})$ 求 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 的最大值.

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2、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 是正三角形， $A B = A A_{1} = 2 \sqrt{2}$ ， $B C$ 边上的中点为D．

(1)、求四棱锥 $C_{1} - A_{1} B_{1} B A$ 的体积；

(2)、求三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 截去三棱锥 $C_{1} - A C D$ 后所得几何体的表面积．

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3、设 $O$ 为坐标原点，向量 $\vec{O Z_{1}}$ 、 $\vec{O Z_{2}}$ 、 $\vec{O Z_{3}}$ 分别对应复数 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 、 $z_{3}$ ，且 $z_{1} = a^{2} + (2 - a) i$ ， $z_{2} = - 1 + (3 - 2 a) i$ ， $z_{3} = 2 - m i$ $(a, m \in R)$ . 已知 $\bar{z_{1}} + z_{2}$ 是纯虚数.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $Z_{1}, Z_{2}, Z_{3}$ 三点共线，求实数 $m$ 的值.

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4、将边长为 $20$ 的正三角形 $A B C$ ，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则 $A^{'} C^{'} =$ ．

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5、“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是 $△ A B C$ 内一点， $△ B O C$ ， $△ A O C$ ， $△ A O B$ 的面积分别为 $S_{A}$ ， $S_{B}$ ， $S_{C}$ ，且 $S_{A} \cdot \vec{O A} + S_{B} \cdot \vec{O B} + S_{C} \cdot \vec{O C} = \vec{0}$ ．设 $O$ 是锐角 $△ A B C$ 内的一点， $∠ B A C$ 、 $∠ A B C$ 、 $∠ A C B$ 分别是的 $△ A B C$ 三个内角，以下命题正确的有（）

A、若 $\vec{O A} + 2 \vec{O B} + 3 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $S_{A} : S_{B} : S_{C} = 1 : 2 : 3$ B、若 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = 2$ ， $∠ A O B = \frac{5π}{6}$ ， $2 \vec{O A} + 3 \vec{O B} + 4 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $S_{△ A B C} = \frac{9}{2}$ C、若O为 $△ A B C$ 的内心， $3 \vec{O A} + 4 \vec{O B} + 5 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $∠ C = \frac{π}{2}$ D、若O为 $△ A B C$ 的垂心， $\vec{O A} + 2 \vec{O B} + 3 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $\cos ∠ A O B = - \frac{\sqrt{10}}{10}$

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6、在 $△ A B C$ 中，已知 $a = \sqrt{3}$ ， $b = \sqrt{2}$ ， $B = 45^{\circ}$ ，则角 $A$ 的值可能为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $120^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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7、已知 $A (1, - 1)$ ， $B (4, 0)$ ， $C (2, 2)$ ，平面区域 $D$ 为由所有满足 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ 的点 $P (x, y)$ 组成的区域（其中 $1 < λ \leq a$ ， $1 < μ \leq b$ ），若区域 $D$ 的面积为 $8$ ，则 $a + b$ 的最小值为（）

A、 $4$ B、 $6$ C、 $8$ D、 $10$

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8、阿基米德（ $A r c h i m e d e s$ ，公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球（如图所示），该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为 $36 π$ ，则圆柱的体积为（）

A、 $36 π$ B、 $45 π$ C、 $54 π$ D、 $63 π$

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9、如图所示，在空间四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $H$ 分别是边 $A B, A D$ 的中点，点 $F$ ， $G$ 分别是边 $B C$ ， $C D$ 上的点，且 $\frac{C F}{C B} = \frac{C G}{C D} = \frac{2}{3}$ ，有以下结论正确的是（）

A、 $E F$ 与 $G H$ 平行； B、 $E F$ 与 $G H$ 共面； C、 $E F$ 与 $G H$ 的交点 $M$ 可能在直线 $A C$ 上，也可能不在直线 $A C$ 上； D、 $E F$ 与 $G H$ 的交点 $M$ 一定在直线 $A C$ 上．

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10、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ 且 $| \vec{a} | = 2$ |， $\vec{b} = (1, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上投影向量的坐标为（）

A、 $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ B、 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(1, 1)$

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11、若 $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{b}| = 4$ ， $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $135 °$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 等于（）

A、 $- 3 \sqrt{2}$ B、 $- 6 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2$

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12、若 $i (1 - z) = 1$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 1$ B、 $- i$ C、1 D、 $i$

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13、在平面直角坐标系中，已知点 $A (- 1, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，点M是平面内的一个动点，则下列说法正确的是（）

A、若 $||\vec{M A}| - |\vec{M B}|| = 1$ ，则点 $M$ 的轨迹是双曲线 B、若 $|\vec{M A}| + |\vec{M B}| = 2$ ，则点 $M$ 的轨迹是椭圆 C、若 $|\vec{M A}| = |\vec{M B}|$ ，则点 $M$ 的轨迹是一条直线 D、若 $\vec{M A} \cdot \vec{M B} = 2$ ，则点 $M$ 的轨迹是圆

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14、已知两条直线 $l_{1} : x - \sqrt{3} y + 2 = 0$ 与 $l_{2} : x - \sqrt{3} y + 6 = 0$ 被圆 $C$ 截得的线段长均为2，则圆 $C$ 的面积为（）

A、 $2 π$ B、 $3 π$ C、 $4 π$ D、 $5 π$

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15、从某校随机抽取 $100$ 名学生，调查他们一周课外阅读的时间(单位： $h$ )的数据，按 $[0, 2), [2, 4)$ ， ...， $[16, 18]$ 分组，整理得到如图所示的频率分布直方图，已知 $b = 2 a .$
（1）求频率分布直方图中的 $a, b$ 的值；
（2）求这 $100$ 名学生这周课外阅读时间的中位数的估计值；(结果精确到 $0.1$ )
（3）为了鼓励学生养成课外阅读的习惯，学校给学生赠送笔记本作为奖励，这周课外阅读时间在 $[0, 6)$ 内的没有奖励， $[6, 10)$ 内的奖励一本笔记本， $[10, 14)$ 内的奖励两本笔记本， $[14, 18]$ 内的奖励三本笔记本，则一共奖励这 $100$ 名学生多少本笔记本？

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16、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ ）的一段图象（如图所示）.

(1)、求函数 $f (x)$ 解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(3)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{6}]$ 上的最大值和最小值.

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17、已知函数 $f (x) = \ln (3 + 2 x), g (x) = \ln (3 - 2 x)$ .
（1）求函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ 的定义域；
（2）若 $F (x) > 0$ 恒成立，求 $x$ 的取值范围.

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18、已知角 $θ$ 是第二象限角，其终边上一点 $P (- 12, 5)$ .
（1）写出三角函数 $\sin θ, \cos θ$ 的值；
（2）求 $\frac{\sin (\frac{π}{2} + θ) + \sin (- π - θ)}{\cos (- θ)}$ 的值.

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19、已知 $f (x) = 9^{x} - 2 \times 3^{x} + 4$ ， $x \in [0$ ， $2]$
（1）设 $t = 3^{x}$ ， $x \in [0$ ， $2]$ ，求 $t$ 的最大值与最小值；
（2）求 $f (x)$ 的最大值与最小值.

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20、函数 $y = \log_{a} (x + 4) + 4$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点.

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