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相关试卷

1、已知抛物线 $E : y^{2} = 4 x$ ，点 $A, B, C$ 在抛物线 $E$ 上，且 $A$ 在 $x$ 轴上方， $B$ 和 $C$ 在 $x$ 轴下方（ $B$ 在 $C$ 左侧）， $A, C$ 关于 $x$ 轴对称，直线 $A B$ 交 $x$ 轴于点 $M$ ，延长线段 $C B$ 交 $x$ 轴于点 $Q$ ，连接 $Q A$ .

(1)、证明： $\frac{|O M|}{|O Q|}$ 为定值（ $O$ 为坐标原点）；

(2)、若点 $Q$ 的横坐标为 $- 1$ ，且 $\vec{M B} \cdot \vec{M C} = \frac{8}{9}$ ，求 $△ A Q B$ 的内切圆的方程.

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2、已知函数 $f (x) = {(x - 1)}^{2} e^{x} - a x$ ，且曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (x))$ 处的切线方程为 $y = - 2 x + b$ ．

(1)、求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、证明：函数 $f (x)$ 有两个零点．

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3、在三棱锥 $S - A B C$ 中，平面 $S A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A C = A S = S C = 2 B C$ ， $D, E$ 分别为 $A B, A C$ 的中点.

(1)、证明： $A B ⊥$ 平面 $S D E$ ；

(2)、求二面角 $A - S B - C$ 的正弦值.

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4、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $4 a cos B - b cos C = c cos B$ .

(1)、求 $cos B$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{15}}{2}, b = 3 \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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5、已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为矩形， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 4$ ，侧面 $P A B$ 为正三角形且垂直于底面 $A B C D$ ， $M$ 为四棱锥 $P - A B C D$ 内切球表面上一点，则点 $M$ 到直线 $C D$ 距离的最小值为.

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6、现安排甲、乙、丁、丙、戊五位老师从周一到周五的常规值班，每人一天，每天一人，则甲、乙两人相邻，丙不排在周三的概率为.

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7、已知定义在 $[0, 1]$ 上的函数 $f (x)$ 满足： $\forall x \in [0, 1]$ ，都有 $f (1 - x) + f (x) = 1$ ，且 $f (\frac{x}{3}) = \frac{1}{2} f (x)$ ， $f (0) = 0$ ，当 $0 \leq x_{1} < x_{2} \leq 1$ 时，有 $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ，则（）

A、 $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ B、 $f (1) = \frac{1}{2}$ C、 $f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{2}$ D、 $f (\frac{\ln 3}{3}) = \frac{1}{2}$

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8、下列说法中，正确的是（）

A、若随机变量 $X ~ N (2, σ^{2})$ ，且 $P (X > 6) = 0.4$ ，则 $P (- 2 < X < 2) = 0.2$ B、一组数据6，7，7，9，13，14，16，17，21的第70百分位数为16 C、盒子中装有除颜色外完全相同的5个黄球和3个蓝球，从袋中有放回地依次抽取2个球，第一次抽到蓝球的情况下第二次也抽到蓝球的概率为 $\frac{3}{8}$ D、设随机事件 $A$ ， $B$ ，已知 $A$ 事件发生的概率为0.3，在 $A$ 发生的条件下 $B$ 发生的概率为0.4，在 $A$ 不发生的条件下 $B$ 发生的概率为0.2，则 $B$ 发生的概率为0.26

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9、已知双曲线： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 作直线交双曲线右支于 $M, N$ 两点（ $M$ 点在 $x$ 轴上方），使得 $\vec{M F_{2}} = 3 \vec{F_{2} N}$ .若 $(\vec{M F_{1}} + \vec{M N}) \cdot \vec{F_{1} N} = 0$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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10、已知 $(x + 1) {(x - 1)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{1} + a_{3}$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、1 C、4 D、 $- 2$

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11、已知 $S_{n}$ 是等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{2} = 3$ ， $S_{6} = 5 S_{4} - 12$ ，则 $S_{4} =$ （）

A、11 B、13 C、15 D、17

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12、已知向量 $\vec{a} = (x, 1)$ ， $\vec{b} = (4, x)$ ，则“ $x > 0$ ”是“向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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13、已知各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $4 S_{n} = {(a_{n} + 1)}^{2}$ ，则 $\frac{2 S_{n} + 10}{a_{n} + 3}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{6} - 2$ B、3 C、 $2 \sqrt{6} - 1$ D、4

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14、已知函数 $f (x)$ 是定义域为R的函数， $f (2 + x) + f (- x) = 0$ ，对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [1, + \infty)$ $(x_{1} < x_{2})$ ，均有 $f (x_{2}) - f (x_{1}) > 0$ ，已知a，b $(a \neq b)$ 为关于x的方程 $x^{2} - 2 x + t^{2} - 3 = 0$ 的两个解，则关于t的不等式 $f (a) + f (b) + f (t) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 2, 2)$ B、 $(- 2, 0)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(1, 2)$

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15、函数 $y = a x^{2} + b x$ 与函数 $y = x^{a} + b (a \neq 0)$ 在同一平面直角坐标系中的图像可能为（）

A、 B、 C、 D、

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16、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $b^{2} = \frac{12}{5} a c$ ， $B = \frac{π}{3}$ .

(1)、求 $\sin A + \sin C$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{5}{12} \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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17、将一枚均匀的骰子掷两次，记事件 $A$ 为“第一次出现偶数点”，事件 $B$ 为“两次出现的点数和为 $9$ ”，则下列结论中正确的是（）

A、 $P (A B) = \frac{1}{9}$ B、 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ C、 $P (A | B) = \frac{1}{3}$ D、 $A$ 与 $B$ 相互独立

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18、设 $θ \in R$ ，则“ $θ = \frac{π}{6}$ ”是“ $\sin θ = \frac{1}{2}$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、若函数 $f (x) = x^{2} - m x + 3$ 在区间 $(- \infty, 2)$ 上单调递减，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 2]$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $(- \infty, 4]$ D、 $[4, + \infty)$

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20、设 $A (3, 3, 1)$ ， $B (1, 0, 5)$ ， $C (0, 1, 0)$ ，则 $A B$ 的中点M到点C的距离 $|C M| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{53}}{4}$ B、 $\frac{53}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{53}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$

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