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相关试卷

1、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为1，下列结论正确的是（）

A、直线 $B C$ 与 $C_{1} D$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ B、直线 $B_{1} C$ 到平面 $A_{1} C_{1} D$ 的距离是 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、点 $B$ 到直线 $A C_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、平面 $A_{1} B C_{1}$ 与平面 $D B C_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{3}$

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2、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R, f (2 x + 1)$ 为奇函数， $f (x) + f (x + 2) = 2 f (1)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 3$ 对称 C、 $f (2 x)$ 的最小正周期为4 D、 $f (2 x)$ 的图象关于点 $(\frac{1}{2}, 0)$ 对称

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3、在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = A D = B D = 2, B C = C D = \sqrt{2}$ ，平面 $A B D ⊥$ 平面 $C B D$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 外接球表面积为（）

A、 $\frac{16 π}{3}$ B、 $\frac{8 π}{3}$ C、 $\frac{16 \sqrt{3} π}{3}$ D、 $3 π$

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4、已知 $sin (α + β) = \frac{1}{3}, cos α sin β = \frac{1}{4}$ ，则 $\frac{tan α}{tan β} =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、3 C、 $\frac{3}{4}$ D、4

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5、已知公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} + a_{2} = a_{3}$ 且 $a_{1} a_{3} = a_{2}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{10} =$ （）

A、30 B、 $\frac{100}{3}$ C、 $\frac{110}{3}$ D、40

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6、直线 $3 x + 4 y - 5 = 0$ 的倾斜角为 $θ$ ，则 $sin θ =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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7、已知集合 $A = \{x |- \frac{1}{2} \leq x \leq 1\}$ ， $B = \{x |x^{2} - \frac{1}{4} > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- \frac{1}{2}, 1\}$ B、 $\{1, \frac{1}{2}\}$ C、 $\{x |- \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}\}$ D、 $\{x |\frac{1}{2} < x \leq 1\}$

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8、已知集合 $A = \{x ∣ 2^{x} - 3 x > 0\}, B = {0, 1, 2, 3, 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${1, 2, 3}$ C、 ${0, 4}$ D、 ${3, 4}$

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9、若 $\forall n \in N^{*}$ ，都存在唯一的实数 $c_{n}$ ，使得 $f (c_{n}) = n$ ，则称函数 $f (x)$ 存在“源数列” $\{c_{n}\}$ .已知 $f (x) = \sqrt{x} - ln x, x \in (0, 1]$ .

(1)、证明： $f (x)$ 存在源数列；

(2)、（i）若 $f (x) - \frac{λ}{\sqrt{x}} \leq 0$ 恒成立，求 $λ$ 的取值范围；
（ii）记 $f (x)$ 的源数列为 $\{c_{n}\}$ ，证明： $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} < \frac{5}{3}$ .

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10、设 $x, y \in R$ ，向量 $\vec{i}, \vec{j}$ 分别为平面直角坐标内x，y轴正方向上的单位向量，若向量 $\vec{a} = (x + \sqrt{3}) \vec{i} + y \vec{j}, \vec{b} = (x - \sqrt{3}) \vec{i} + y \vec{j}$ ，且 $| \vec{a} | + | \vec{b} | = 4$ ．

(1)、求点 $M (x, y)$ 的轨迹C的方程；

(2)、设椭圆 $E : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，曲线C的切线 $y = k x + m$ 交椭圆E于A、B两点，试证： $△ O A B$ 的面积为定值．

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11、如图①，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $E, F$ 分别为 $A B, C D$ 的中点， $C D = 2 A B = 2 E F = 4$ ， $M$ 为 $D F$ 的中点．现将四边形 $B E F C$ 沿 $E F$ 折起，使平面 $B E F C ⊥$ 平面 $A E F D$ ，得到如图②所示的多面体．在图②中：

(1)、证明： $E F ⊥ M C$ ；

(2)、求平面 $M A B$ 与平面 $D A B$ 夹角的余弦值．

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ，且 $a_{1} + \frac{a_{2}}{2} + \frac{a_{3}}{2^{2}} + \dots + \frac{a_{n}}{2^{n - 1}} = \frac{n a_{n + 1}}{2^{n}}$ ，在数列 $\{b_{n}\}$ 中， $b_{1} = 2$ ，点 $P (b_{n}, b_{n + 1})$ 在函数 $y = x + 2$ 的图象上.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、将数列 $\{b_{n}\}$ 和 $\{a_{n} + \frac{b_{n}}{2}\}$ 的所有公共项从小到大排列得到数列 $\{c_{n}\}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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13、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，且 $c \cdot \cos C$ 是 $a \cdot \cos B$ 与 $b \cdot \cos A$ 的等差中项．
（1）求角 $C$ ；
（2）设 $c = 3$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值．

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14、设函数 $f (x) = \{\begin{matrix} |ln x|, 0 < x \leq e \\ 2 - ln x, x > e \end{matrix}$ ，若方程 $f (x) = m$ 有三个实数根 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，满足 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + x_{3}$ 的取值范围是.

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15、已知 $O$ 为坐标原点，点 $P (0, 1)$ ，圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0$ ，点 $Q$ 为圆 $C$ 上的一动点，则 $∠ P O Q$ 的最小值为.

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16、用数学归纳法证明 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{2^{n} - 1} < n (n \in N$ 且 $n > 1)$ ，第一步要证的不等式是.

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17、杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的两个数之和.那么下列说法中正确的是（）

A、第 $n$ 行的第 $r (r \leq n)$ 个位置的数是 $C_{n}^{r - 1}$ B、若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一个新的数列 $\{a_{n}\}$ ，则 $a_{10} = 55$ C、70在杨辉三角中共出现了3次 D、记第 $n + 1$ 行的第 $i$ 个数为 $a_{i}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n + 1} 3^{i - 1} a_{i} = 4^{n}$

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18、中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山，西岳华山，南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山.小明与其父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则（）

A、3人选择的地点均不同的方法总数为60 B、恰有2人选一个地方的方法总数为15 C、恰有1人选泰山的概率是 $\frac{48}{125}$ D、若小明已选择去泰山，其父母至少有一人选择去泰山的概率为 $\frac{16}{25}$

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19、函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} (x \neq 0)$ 的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是一对优美的双曲线.在数列 $\{c_{n}\}$ 中， $c_{1} = 1, \frac{1}{c_{n}} = f (n) (n \in N, n \geq 2)$ ，记数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，数列 $\{T_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则当 $n \geq 2$ 时（）

A、 $\frac{5}{3} \leq S_{n} < 2$ B、 $1 < S_{n} \leq \frac{5}{3}$ C、 $\frac{5}{3} \leq S_{n} < \frac{23}{12}$ D、 $\frac{7}{4} \leq S_{n} < 2$

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20、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 中，公比 $q > 0$ ，若 $a_{2} = 4$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3}$ （）

A、有最小值 $- 4$ B、有最小值12 C、有最大值 $- 4$ D、有最大值12

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