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相关试卷

1、中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其形状类似打横的阿拉伯数字8，对应着数学曲线中的双纽线.在 $x O y$ 平面上，把与定点 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0)$ 距离之积等于 $c^{2} (c > 0)$ 的动点的轨迹称为双纽线， $P$ 是双纽线 $C$ 上的一个动点，则下列结论正确的是（）

A、双纽线 $C$ 上不存在点 $P$ ，使得 $|P F_{1}| = |P F_{2}|$ B、双纽线 $C$ 的图象关于 $x$ 轴对称，关于 $y$ 轴对称，也关于原点对称 C、若 $c = 4$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长可以为19 D、若 $c = 2 \sqrt{2}$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积的最大值为4

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2、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n} = 1 - \frac{1}{a_{n - 1}}$ （ $n \geq 2$ ， $n \in N_{+}$ ），则 $a_{2023} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $- 1$ D、2

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3、若抛物线 $y = \frac{1}{a} x^{2}$ 的准线方程是 $y = 1$ ，则实数 $a$ 的值是（）

A、 $- 4$ B、4 C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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4、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 3 x - 10 < 0\}$ ， $B = \{x |(x - m) [x - (2 m - 1)] \leq 0\}$ ， $C = \{x |\frac{1}{2^{x}} > 2\}$ ．

(1)、求 $A \cap C$ ， $A \cup (∁_{R} C)$ ；

(2)、若“ $x \in B$ ”是“ $x \in A$ ”的充分不必要条件，求 $m$ 的取值范围．

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5、已知“不小于 $x$ 的最小的整数”所确定的函数通常记为 $f (x) = [x]$ ，例如： $[1.2] = 2$ ，则方程 $[x] = \frac{3}{4} x + \frac{1}{2}$ 的正实数根的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、无数个

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6、某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示：
土地使用面积 $x /$ 亩
1
2
3
4
5
管理时间 $y /$ 月
8
10
13
25
24
并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：
单位：人
愿意参与管理
不愿意参与管理
合计
男性村民
150
50
女性村民
50
合计

(1)、求出样本相关系数 $r$ 的大小，并判断管理时间 $y$ 与土地使用面积 $x$ 是否线性相关（当 $|r| \geq 0.75$ 时，即可认为线性相关）；

(2)、依据 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关；

(3)、以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望.
参考公式： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}, χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
临界值表：
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考数据： $\sqrt{635} \approx 25.2$ .

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7、从7人中选派5人到10个不同岗位中的5个参加工作，则不同的选派方法有（）

A、 $C_{7}^{5} A_{10}^{5} A_{5}^{5}$ 种 B、 $A_{7}^{5} C_{10}^{5} A_{5}^{5}$ 种 C、 $C_{10}^{5} C_{7}^{5}$ 种 D、 $C_{7}^{5} A_{10}^{5}$ 种

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8、教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为 $0.15 %$ .经测定，刚下课时，空气中含有 $0.25 %$ 的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为 $y %$ ，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数 $y = 0.05 + λ e^{- \frac{t}{10}} (λ \in R)$ 描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t（单位：分钟）的最小整数值为（）
（参考数据 $\ln 2 \approx 0.693, \ln 3 \approx 1.098$ ）

A、5 B、7 C、9 D、10

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9、已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} + a_{n} = 4 n (n \in N^{*})$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、是否存在正实数a，使得不等式 $\frac{a_{1}}{a_{1} + 1} \cdot \frac{a_{2}}{a_{2} + 1} \dots \dots \frac{a_{n}}{a_{n} + 1} \cdot \sqrt{a_{n + 1}} < \frac{a}{2} - \frac{3}{a}$ 对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.

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10、已知向量 $\vec{m} = (\sqrt{3} \sin ω x, \sin ω x)$ ， $\vec{n} = (\cos ω x, \sin ω x)$ ， $ω > 0$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ，且 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ .

(1)、若 $x \in [0, \frac{5 π}{12}]$ ，求 $f (x)$ 的值域；

(2)、将 $f (x)$ 的图象先向下平移 $\frac{1}{2}$ 个单位长度，再向左平移m（ $m > 0$ ）个单位长度，最后将横坐标变为原来的两倍，所得函数图象与函数 $y = \cos x$ 的图象重合，求实数m的最小值.

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11、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的菱形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ， $E, F$ 分别是 $B C, P C$ 的中点.

(1)、证明： $A E ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $P A = 2$ ，求二面角 $F - A E - C$ 的余弦值.

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12、某种产品的广告费用支出 $x$ （万元）与销售额 $y$ （万元）之间有如下的对应数据：
$x$
2
4
5
6
8
$y$
30
40
60
50
70
（1）求回归直线方程；
（2）据此估计广告费用为12万元时的销售额约为多少？
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

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13、写出一个满足条件“函数的图象与坐标轴没有交点，且关于 $y$ 轴对称”的幂函数： $f (x) =$ .

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14、已知复数 $z = (m^{2} - 5 m + 6) + (m^{2} - 3 m) i$ 是纯虚数，则复数 $z$ 的虚部是.

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15、如图，在山脚 $A$ 测得山顶 $P$ 的仰角为 $α$ ，沿倾斜角为 $β$ 的斜坡向上走 $a m$ 到达 $B$ 处，在 $B$ 处测得山顶 $P$ 的仰角为 $γ$ ，则山高 $h =$ （）

A、 $\frac{a \sin α \sin (γ - β)}{\sin (γ - α)}$ B、 $\frac{a \sin α \sin (γ - α)}{\sin (γ - β)}$ C、 $\frac{a \sin γ \sin (α - β)}{\sin (γ - α)} + a \sin β$ D、 $\frac{a \sin γ \sin (α - β)}{\sin (γ - β)} + a \sin β$

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16、数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $S_{n - 1} = 3 a_{n} (n \geq 2)$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a_{2} = \frac{1}{3}$ B、 $\{a_{n}\}$ 是等比数列 C、 $a_{n + 1} = \frac{4}{3} a_{n}, n \geq 2$ D、 $S_{n} = {(\frac{4}{3})}^{n - 1}$

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17、已知正实数 $x, y$ 满足 $x + y = 2$ ，则 $\frac{x^{2} + 9}{x} + \frac{y^{2} + 1}{y}$ 的可能取值为（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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18、用 $\min {a, b, c}$ 表示 $a$ ， $b$ ， $c$ 中的最小数，若函数 $f (x)$ 为偶函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \min \{x + 1, x^{2} - x + 1, - x + 6\}$ ，则 $f (x)$ 的极值点的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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19、已知 $\cos (x + \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ， $\frac{5 π}{12} < x < \frac{7 π}{4}$ ，则 $\frac{\sin x + \cos x}{\cos x - \sin x} =$ （）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $- \frac{4}{3}$ 或 $\frac{4}{3}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{4}$ 或 $\frac{3}{4}$

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20、已知对任意平面向量 $\vec{A B} = (x, y)$ ，把 $\vec{A B}$ 绕其起点沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到向量 $\vec{A P} = (x \cos θ - y \sin θ, x \sin θ + y \cos θ)$ ，叫做把点 $B$ 绕点 $A$ 沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到点 $P$ .已知平面内点 $A (1, 2)$ ， $B (1 + \sqrt{2}, 2 - 2 \sqrt{2})$ ，把点 $B$ 绕点 $A$ 沿逆时针方向旋转 $\frac{π}{4}$ 后得到点 $P$ ，则 $P$ 的坐标为（）

A、 $(0, - 1)$ B、 $(2, 5)$ C、 $(4, 1)$ D、 $(3, - 1)$

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土地使用面积 $x /$ 亩	1	2	3	4	5
管理时间 $y /$ 月	8	10	13	25	24

	愿意参与管理	不愿意参与管理	合计
男性村民	150	50
女性村民	50
合计

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

$x$	2	4	5	6	8
$y$	30	40	60	50	70