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相关试卷

1、设 $D$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点，若 $\vec{B C} = 3 \vec{C D}$ ，则下列关系中正确的是（）

A、 $\vec{A D} = - \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{4}{3} \vec{A C}$ B、 $\vec{A D} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$ C、 $\vec{A D} = \frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ D、 $\vec{A D} = \frac{4}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$

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2、已知 $\cos (α + \frac{π}{3}) = \frac{2}{3}$ ，则 $\sin (α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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3、若复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = |1 + \sqrt{3} i|$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $2 - 2 i$ D、 $2 + 2 i$

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4、已知集合 $A = \{x \in N |x < 3\}$ ， $B = \{x |- 2 < x < 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |- 2 < x < 3\}$ B、 $\{x |- 2 < x < 4\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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5、欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，下面对于定义在R上的函数 $y = f (x)$ ，满足 $\forall x, y \in R$ ，有 $f (x + y) = f (x - y) + 2 f (y) cos x$ ，则下面判断一定正确的是（）

A、 $4 π$ 是 $f (x)$ 的一个周期 B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 是偶函数 D、 $f (x) = f (\frac{π}{2}) sin x$

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6、已知数列 $\sqrt{6}, \sqrt{10}, \sqrt{14}, 3 \sqrt{2}, \sqrt{22}, \dots$ ，则 $5 \sqrt{2}$ 是这个数列的（）

A、第11项 B、第12项 C、第13项 D、第14项

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |2^{x} - 1|, x \leq 2 \\ 5 - x, x > 2 \end{array}$ ， $a < b < c < d$ ，且 $f (a) = f (b) = f (d) < f (c)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a < 0$ B、 $c \geq 1$ C、 $2^{a} d < 5$ D、 $2^{a} + 2^{b} + 2^{d}$ 的取值范围为 $(18, 34)$

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8、直线 $l : x - 2 y + m = 0$ 被圆 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 8$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $m =$ .

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9、已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点F是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点，抛物线的准线与双曲线的渐近线交于A，B两点.若 $△ A B F$ 是等边三角形，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{\frac{3}{7}} - \frac{y^{2}}{\frac{4}{7}} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{7} - \frac{y^{2}}{\frac{3}{7}} = 1$

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10、已知 $a = π^{0.2}$ ， $b = {0.2}^{π}$ ， $c = \log_{π} 0.2$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $c > b > a$ C、 $a > c > b$ D、 $a > b > c$

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11、函数 $f (x) = \frac{4 x^{2}}{2^{x} - 2^{- x}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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12、在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ B A C = 120^{\circ}$ ， $A B = A D = A C = 2$ ，则该棱锥的外接球半径为（）.

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $3$ D、 $4$

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13、已知函数 $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ ，若 $a = \log_{3} 0.6$ ， $b = 3^{0.01}$ ， $c = \log_{5} 3$ ，则有（）

A、 $f (a) > f (b) > f (c)$ B、 $f (b) > f (c) > f (a)$ C、 $f (b) > f (a) > f (c)$ D、 $f (c) > f (a) > f (b)$

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14、设函数 $f (x) = a \ln x + \frac{1}{x + 1}$ ，其中 $a$ 为常数，且 $a > 0$ .
（1）讨论函数 $f (x)$ 的单调性；
（2）设函数 $F (x) = f (x) + x \ln a$ ， $x_{1}, x_{2}$ 是函数 $f (x)$ 的两个极值点，证明： $F (x_{1}) + F (x_{2}) < 1 - 4 \ln 2$ .

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15、某校有一个露天的篮球场和一个室内乒乓球馆为学生提供锻炼场所，甲、乙两位学生每天上下午都各花半小时进行体育锻炼，近50天天气不下雨的情况下，选择体育锻炼情况统计如下：
上下午体育锻炼项目的情况（上午，下午）（篮球，篮球）（篮球，乒乓球）（乒乓球，篮球）（乒乓球，乒乓球）
甲 20天 15天 5天 10天
乙 10天 10天 5天 25天
假设甲、乙选择上下午锻炼的项目相互独立，用频率估计概率.

(1)、分别估计一天中甲上午和下午都选择篮球的概率，以及甲上午选择篮球的条件下，下午仍旧选择篮球的概率；

(2)、记 $X$ 为甲、乙在一天中选择体育锻炼项目的个数，求 $X$ 的分布列和数学期望 $E (X)$ ；

(3)、假设A表示事件“室外温度低于10度”， $B$ 表示事件“某学生去打乒乓球”， $P (A) > 0$ ，一般来说在室外温度低于10度的情况下学生去打乒乓球的概率会比室外温度不低于10度的情况下去打乒乓球的概率要大，证明： $P (A | B) > P (A | \bar{B})$ .

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16、（1）求 ${(2 x - \frac{1}{x^{2}})}^{6}$ 的展开式中的常数项；
（2）若 ${(1 + x + x^{2})}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{12} x^{12}$ ，求：
① $a_{0} + a_{2} + a_{4} + \dots + a_{12}$
② $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + 12 a_{12}$ .

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17、某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．

(1)、在选派的3人中恰有2人会法语的概率；

(2)、在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望．

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18、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + x - 1}{e^{x}}$ .
（1）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线的方程；
（2）求函数 $y = f (x)$ 的极值.

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19、丝瓜的主要用途是作为蔬菜被人们食用，除此之外，丝瓜成熟后里面的网状纤维（丝瓜络）可代替海绵用于洗刷灶具及家具，其肉、籽、花、藤、叶等也具有一定的药用作用．已知一种白玉香丝瓜成熟后的长度近似服从正态分布 $N (20, 9)$ ，某蔬菜种植基地新摘下一批成熟白玉香丝瓜，整理后发现长度在23cm以上（含23 cm）的白玉香丝瓜有320根，则此次摘下的白玉香丝瓜约有根．（结果保留整数，若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ）

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20、在 $(x + 1) {(a x + 1)}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为15，则 $a =$ .

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上下午体育锻炼项目的情况（上午，下午）	（篮球，篮球）	（篮球，乒乓球）	（乒乓球，篮球）	（乒乓球，乒乓球）
甲	20天	15天	5天	10天
乙	10天	10天	5天	25天