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相关试卷

1、古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点 $A ， B$ 及动点 $P$ ，若 $\frac{|P B|}{|P A|} = λ (λ > 0$ 且 $λ \neq 1)$ ，则点 $P$ 的轨迹是圆. 后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知 $O (0, 0), Q (0, \sqrt{2})$ ，直线 $l_{1} : k x - y + k + 3 = 0$ ，直线 $l_{2} : x + k y + 3 k + 1 = 0$ ，若 $P$ 为 $l_{1}, l_{2}$ 的交点，则 $3 |P O| + |P Q|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{66}$ B、 $13 - 3 \sqrt{2}$ C、 $14 - 3 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{70}$

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2、将边长为1的正方形 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 翻折，使得二面角 $A - B D - C$ 的平面角的大小为 $\frac{π}{3}$ ，若点 $E$ ， $F$ 分别是线段 $A C$ 和 $B D$ 上的动点，则 $\overset{⃑}{B E} \cdot \overset{⃑}{C F}$ 的取值范围为（）

A、 $[- 1, 0]$ B、 $[- 1, \frac{1}{4}]$ C、 $[- \frac{1}{2}, 0]$ D、 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{4}]$

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3、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 m x + m^{2} - 1 = 0$ 和圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 2 n y + n^{2} - 9 = 0$ 恰有三条公共切线，则 ${(m - 6)}^{2} + {(n - 8)}^{2}$ 的最小值为（）

A、6 B、36 C、10 D、 $\sqrt{10}$

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4、已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 作直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，设 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ，若 $△ A B F_{2}$ 内切圆的面积为 $π$ ，则 $|y_{1} - y_{2}| =$ （）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $2$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $3$

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5、如图，四棱锥 $P - O A B C$ 的底面是矩形，设 $\overset{⃑}{O A} = \overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{O C} = \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{O P} = \overset{⃑}{c}$ ， $E$ 是棱 $P C$ 上一点，且 $P E = 2 E C$ ，则 $\overset{⃑}{B E} =$ （）

A、 $- \frac{1}{3} \overset{⃑}{a} - \frac{1}{3} \overset{⃑}{b} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{c}$ B、 $- \overset{⃑}{a} - \frac{1}{3} \overset{⃑}{b} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{c}$ C、 $- \overset{⃑}{a} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{b} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{c}$ D、 $- \overset{⃑}{a} - \frac{1}{3} \overset{⃑}{b} - \frac{1}{3} \overset{⃑}{c}$

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6、已知两个非零向量 $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) ， \vec{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) ，$ 它们平行的充要条件是（）

A、 $\frac{1}{|\vec{a}|} \vec{a} = \frac{1}{|\vec{b}|} \vec{b}$ B、 $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{2}}{b_{2}} = \frac{a_{3}}{b_{3}}$ C、 $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} = 0$ D、存在非零实数k，使 $\vec{a} = k \vec{b}$

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7、直线 $l_{1}$ ： $(a^{2} - 4) x + y - 1 = 0$ ，直线 $l_{2}$ ： $x + (a - 2) y + 3 = 0$ ，则直线 $l_{1} ⊥ l_{2}$ 是 $a = - 3$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8、已知直线l经过点 $A (1, \sqrt{3})$ 和 $B (0, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ 两点，则直线l的倾斜角是（）

A、 $30 °$ B、45° C、60° D、120°

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9、已知函数 $f (x) = |x - a| - \frac{3}{x} + a (a \in R)$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求关于 $x$ 的方程 $f (x) = 1$ 的解；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = \frac{2}{a}$ 有三个不同的正实数根 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ .
（i）求 $a$ 的取值范围；
（ii）证明： $x_{1} x_{2} x_{3} > 3$ .

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10、已知函数 $f (x) = \frac{4^{x} - a}{2^{x}}$ 为奇函数，

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并用单调性定义加以证明；

(3)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x^{2} + 2 x) + f (x - 4) < 0$ 的解集.

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11、某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量 $W$ （单位：千克）与使用肥料 $x$ （单位：千克）满足如下关系： $W (x) = \{\begin{array}{l} 10 (x^{2} + 3), 0 \leq x \leq 2 \\ 100 - \frac{100}{x + 1}, 2 < x \leq 5 \end{array}$ ，肥料成本投入为 $11 x$ 元，其他成本投入（如培育管理、施肥等人工费） $25 x$ 元.已知这种水果的市场售价为20元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为 $f (x)$ （单位：元）.

(1)、求 $f (x)$ 的函数关系式；

(2)、当使用肥料为多少千克时，该水果树单株利润最大，最大利润是多少？

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12、求值

(1)、 $\sqrt[4]{4} \times 32^{\frac{1}{2}} + \ln \sqrt{e} - 2024^{0}$

(2)、 $(\log_{2} 5 + \log_{4} 0.2) (\log_{5} 2 + \log_{25} 0.5)$

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13、已知 $a$ ， $b$ 满足 $a^{2} + a b - 2 b^{2} = 1$ ，则 $3 a^{2} - 2 a b$ 的最小值为

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14、定义 $f (x) = ⌈x⌉$ （其中 $⌈x⌉$ 表示不小于 $x$ 的最小整数）为“向上取整函数”.例如 $⌈- 1.1⌉ = - 1$ ， $⌈2.1⌉ = 3$ ， $⌈4⌉ = 4$ .以下描述正确的是.（请填写序号）
①若 $f (x) = 2024$ ，则 $x \in (2023, 2024]$ ， ②若 ${⌈x⌉}^{2} - 7 ⌈x⌉ + 12 \leq 0$ ，则 $x \in (2, 4]$ ，
③ $f (x) = ⌈x⌉$ 是 $R$ 上的奇函数，④ $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增.

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15、函数 $f (x) = \log_{3} (3 x + 1)$ 的定义域为.

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16、已知函数 $f (x)$ 满足：对于 $x, y \in R$ ，都有 $f (x - y) = f (x) f (y) + f (1 + x) f (1 + y)$ ，且 $f (0) \neq f (2)$ ，则以下选项正确的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (1) = 0$ C、 $f (1 + x) + f (1 - x) = 0$ D、 $f (x + 4) = f (x)$

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17、已知函数 $f (x) = \lg (\sqrt{x^{2} - 2 x + 2} - x + 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $R$ B、 $f (x + 1)$ 关于原点对称 C、 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 在 $x \in [1 - m, 1 + m]$ 上的最大值、最小值分别为 $M$ 、 $N$ ，则 $M + N = 0$

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18、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 为实数，且 $a > b > 0$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $\frac{1}{a - c} < \frac{1}{b - c}$ C、 $a c > b c$ D、 $\frac{a}{c^{2}} > \frac{b}{c^{2}}$

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19、已知函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，若函数 $g (x)$ 满足 $g (x) = \{\begin{matrix} f (x), x \geq 0 \\ - f (x), x < 0 \end{matrix}$ ，且 $g (f (x)) - a = 0$ 有8个不同的解，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a < - 1$ B、 $- 1 < a < 0$ C、 $0 < a < 1$ D、 $a > 1$

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20、设 $m \in R$ ， “ $m < - \frac{1}{2}$ ”是“方程 $m^{2} x^{2} - (m + 3) x + 4 = 0$ 在区间 $(2, + \infty)$ 上有两个不等实根”的（）条件.

A、充分必要 B、充分不必要 C、必要不充分 D、既不充分也不必要

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